数值分析第五章学习小结

第五章学习小结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S20150232一、本章学习体会本章的内容与实际关联很大，可以解决很多工程实际问题。1、主要有两方面内容：插值与逼近。插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。逼近即是用简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最小最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。2、插值中样条插值比较难，需要花一定的时间。逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最小。3、我个人觉得本章的难点是样条插值与最佳平方逼近。二、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。1、插值：插值一元代数插值插值的基本概念：插值函数，被插函数，插值节点，插值点，节点等。插值条件：插值多项式存在唯一性。误差：Newton插值：主要解决的是lagrange插值无继承性的缺点。差商的定义及性质了解插值的基函数。注意lagrange插值多项式与newton多项式为同一多项式，任意改变节点的次序n次多项式不变。分段二次插值：所谓分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f(x)。通过缩小插值区间达到减小误差的目的进而解决高次插值的rung现象。注意分段插值收敛性虽好，但是不光滑，在个别点导数不存在。Hermite插值1、插值函数通过节点。2、与被插函数在节点具有相同的导数值。插值多项式具有唯一性，求解的两种方法：1、基函数法2、待定系数法。误差：分段Hermite插值为了得到光滑度更高的插值函数因此引入样条函数。理解样条函数样条函数空间的定义，K次样条函数的表示公式。三次样条插值：定义，边界条件（自然样条，压紧样条，周期性条件），解存在且唯一。构造样条函数的方法：待定系数法，三弯矩法（任意划分）B样条法（等间距划分），重点掌握三弯矩法。代数插值Lagrang插值：插值基函数：（具体公式见课本）。插值多项式：注意大范围内不宜采用高次插值，节点的选取遵循居中原则，根据插值点选择节点。样条插值2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下方式：一、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上非负的函数满足（1）对一切整数存在；（2）对区间上非负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定(),(),,()fxgxCabx是上的权函数，称为函数()fx与()gx在[a,b]上的内积。内积的性质：（1）对称性：,,fggf；（2）数乘性：,(,)(,)kfgfkgkfg；（3）可加性：1212,,,ffgfgfg；（4）非负性：若在[a,b]上()0fx，则。3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积(,)ab()x0,()bnanxxdx(,)ab()fx()0bnaxxdx(,)ab()0fx()x(,)ab222()1,1(),111()1,11(),0(),xxxaxbxxxxxxxexxex(,)ab(,)()()()bafgxfxgxdx(,)0ff则称()fx与()gx在区间[a,b]上带权()x正交若函数系.满足则称是上带权的正交函数系。特别的，如果是最高次项系数不为零的次多项式，则称正交函数系一定线性无关。4、几种常用的正交多项式（1）legendre多项式Legendre多项式的性质Legendre多项式系{}是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。的最高次项系数为n为奇数时为奇函数，n为偶数时为偶函数。递推关系当时（2）chebyshev多项式设n为非负整数，称()cos(arccos),11nTxnxx为chebyshev多项式。chebyshev多项式的性质：()nTx是x的n次多项式，并且当时，()nTx的最高次项系数为12nna(,)()()()=0bafgxfxgxdx01(),(),,(),nxxx0,(,)()=0,bijijaiijxdxaij()kx,ab()x()kxk(),()kxabx是上带权的正交多项式。02()11()[(1)],1,2,2!nnnnnLxdLxxnndx()nLx()1x()nLx()nLx()(1)()nnnLxLx()nLx1n1121()()()11nnnnnLxxLxLxnn1nChebyshev多项式系{()}nTx是区间[-1，1]上带权的正交多项式系。（3）Laguerre多项式称()(),0,1,nnxxnndxeUxendx为Laguerre多项式Laguerre多项式的性质：（1）是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为（2）Laguerre多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。（4）Hermite多项式称22()()(1),0,1,nxnxnndeHxendx为Hermite多项式。Hermite多项式的性质:是x的n次多项式，并且它的最高次项系数为Hermite多项式系{}是在区间上带权的正交多项式系。二、函数的最佳平方逼近1、最佳平方逼近的概念设nH为某一函数类定义：设],[)(baCxf，若存在nHx)(*使2222*minffnH,则称)(*x为f（x）在函数类nH中的最佳平方逼近函数。dxxxxffba)()]()([2*22***ffmin(f,f)nH（-,-）=nH的表示：设)(,),(),(),(210xxxxn，)}(,),(),(),({210xxxxspanHnn21()1xx()nUx(1)nna()nUx[0,)xe()nHx2nna()nHx(,)2xe20,()()2!,xmnnmneHxHxdxnmnnkkkxcx0**)()(，nkkkxcx0)()(2、最佳平方逼近的条件设],[)(baCxf，nHx)(，是子空间nH中，对于)(xf的最佳平方逼近元素的充分必要条件是：njfj,,1,0,0),(*3、最佳平方逼近元素是唯一的4、最佳平方逼近元素的求法nkkkxcxp0**)()(，求系数*kc，利用条件：njxcffjnkkkj,...2,1,0,0),)((,0**法方程（正规方程）：,2,1,0,),(),(0*jfcnkjjkknjfcccjnjnjj,,2,1,0),(),(),(),(**11*00),(),(),(),(...),(),(),(),(),(),(),(),(0**11*001*1*111*0100*0*101*000fcccfcccfcccnnnnnnnnn),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100nnnnnnnnfffccc设)(,),(),(),(210xxxxn为[a,b]上带权)(x正交函数系,则nkfckkkk,,2,1,0,),(),(*5、最佳平方逼近误差**,ff，均方误差：，nkkkfcff0*),(),(三、正交函数系在最佳平方逼近中的应用设)(,),(),(),(210xxxxn，为[a,b]上带权)(x正交函数系,则nkfckkkk,,2,1,0,),(),(*1、Legendre多项式的应用(1)设1,1)(Cxf求f(x)在[-1,1]上的n次最佳平方逼近多项式)(xpnbadxxgxfgf)()(),(，},,,,1{2nnxxxspanH},,,{10nnLLLspanH取，),(),(*kkkkLLLfcnmnnmdxxLxLnm,122,0)()(11nkdxxfxLkLLLfckkkkk,,2,1,0,)()(212),(),(11*，nkkkxLcxp0**)()((2)(),fxCab做变换,[1,1]22abbaxtt2、Chebyshev多项式的应用},,,{10nnTTTspanH，11,)(2)(10xxTaaxpnjjjnnjdxxxTxfajj,,2,1,0,1)()(2112误差估计设)(xf在区间[-1，1]上存在且有界，那么由式11,)(2)(10xxTaaxpnjjjn和系数公式njdxxxTxfajj,,2,1,0,1)()(2112。所确定的多项式,当n时，在[-1，1]上一致收敛于函数f(x)。Chebyshev级数11,)(210xxTaajjj3、三角函数系的应用三角函数系}sin,cos,,sin,cos,1{nxnxxx，在[0,2]上为正交函数20)()(),(dxxgxfgf0,0,2,0)cos,(cosjkjkjkjxkx，0,,0)sin,(sinjkjkjxkxjkjxkx,0)sin,(cos设f(x)是以2为周期的函数,定义内积20)()(),(dxxgxfgf，在空间}sin,cos,,sin,cos,1{nxnxxxspanDn，中寻求对于f(x)的最佳平方逼近元素nkkknkxbkxaaxs00)sincos(2)(nkkxdxxfbnkkxdxxfakk,,2,1,sin)(1,,2,1,0,cos)(12020当),()(Cxf且以2为周期时)()sincos(200xfkxbkxaakkk四、曲线拟合曲线拟合的概念：已知数据点：miyxii,,2,1,0),,(，寻找一个函数)(xy，使其在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合的好。常用的四个准则：（1）最大误差iininyxE1max（2）平均误差niiiyxnE111（3）均方根误差21212)1(niiiyxnE（4）误差平方和21niiiyxE用四种方法可以分别得到在四种准则下的四条最佳拟合曲线，使其误差平方和最小的方法称为最小二乘准则。1、曲线拟合（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法:给定一组数据miyxii,,2,1,0),,(，在某一函数类D中找函数)(*xy，使：miiiDmiiiyxyx0202*])([])([min称)(*x为上述数据的最小二乘拟合曲线.（2）拟合曲线的求法取mnxxxspanDn)},(,),(),({10找Dxcxnjjj)()(0**使miiiDmiiixfxxfx0202*)]()([min)]()([即求多元函数的极小值：miiijnjjcmiiijnjjxfxcxfxci020020*)]()([min)]()([miiijnjjnxfxccccF02010)]()([),,,()()]()([200ikmiiijnjjkxxfxccF0)()(2)()(2000ikmiimiikijnjjxxfxxc0)()()()(000ik