相似三角形专题--苏雷

第27章相似专项训练专训1证比例式或等积式的技巧构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.求证：DCAE＝CFAD.4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2＝MD·ME.构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BFBE＝ABBC.9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；(2)AMAB＝MNAC.等积代换法10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AEAF＝ACAB.等线段代换法11．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF.12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.专训2巧用“基本图形”探索相似条件1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．子母型3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.专训3利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AECE＝BFCF.求证：AD＝DB.类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：DE＝12BC.4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.证明两线垂直7．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AC2＝AB·AD，BC2＝BA·BD，求证：CD⊥AB.专训4相似三角形与函数的综合应用相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A43，53，点D的坐标为(0，1)．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．专训5全章热门考点整合应用3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是()A．3cm，6cm，7cm，9cmB．2cm，5cm，0.6dm，8cmC．3cm，9cm，1.8dm，6cmD．1cm，2cm，3cm，4cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25m，在图纸上，这条边的长为5cm，其他两条边的长都为4cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形概念3：位似图形2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．(第6题)专训1(第1题)1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM.∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM.∴AM2＝MD·ME.(第5题)5．证明：如图，连接PM，PN.∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF∽△BAE，得BDAB＝BFBE.∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA，得ABBC＝BDAB，∴BFBE＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D.∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC，∴AMAB＝MNAC.10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AEAF＝ACAB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CPPE＝PFCP，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.(第11题)(第12题)12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.