图的遍历(深度优先遍历和广度优先遍历-)

数据结构与算法---第二十讲北方民族大学计算机科学与工程学院王伦津研究员图的遍历20、图的遍历深度优先遍历和广度优先遍历掌握图的深度优先和广度优先遍历的性质和方法，以及基于邻接矩阵和邻接表存储结构的递归和非递归的算法实现目录20.1概述20.2深度优先遍历20.3深度优先遍历的性质20.4广度优先遍历20.5广度优先遍历的性质20、图的遍历从这节起，我们介绍图的一些重要操作的实现，包括遍历、拓扑排序、关键路径等。另有一些重要操作，如最短路径问题、最小生成树问题，由于主要难点在于算法，所以我们安排在后面的算法设计章节中介绍。图的遍历与树的遍历一样具有十分重要的作用，图的许多其他操作（算法）都与遍历相关。20.1概述图的遍历的含意是，从图中某结点出发，按某既定方式访问图中各个可访问到的结点，使每个可访问到的结点恰被访问一次。图的遍历方式有两种：深度优先与广度优先方式，分别对应于树的先根遍历与层序遍历。树中不存在回路，但图中可能有回路。因此，当沿回路进行扫描时，一个结点可能被扫描到多次，可能导致死循环。为了避免这种情形，在遍历中，应为每个结点设立一个访问标志，每扫描到一个结点，要检查它的访问标志，若标志为“未访问”，则按正常方式对其进行处理（如访问或转到它的邻接点等），否则放过它，扫描下一个结点。访问标志的设置有两种方法：①在描述图结的记录中增设一个访问标志位。这种方法的优点是，访问“访问标志”的方法与访问结点的方法一致。如果访问标志需要与图结构同生命期，则这种方法比较合适。但是，若访问标志要重复使用，就必须先重新初始化访问标志。如果图结点的存储不利于顺序访问，这往往也是个遍历问题！②另设一个“访问数组”，令它的每个元素对应于一个图结点访问标志。这种方法的访问标志很容易多次初始化。从图中某一结点出发，一趟只能遍历到它所在的极大连通分量中的结点，要想遍历到图中各结点，需进行多趟遍历（每趟遍历一个极大连通分量）。该过程可描述为：for(图中每个结点v)if(v尚未被访问过)从v出发遍历该图;下面只考虑从一点出发遍历，因此有可能会出现遍历不到的点。即那些初始点无路径可达的点，是遍历不到的。20.2深度优先遍历(一)遍历规则从图中某结点v0出发，深度优先遍历（DFS:DepthFirstSearch）图的规则为：·访问v0；·对v0的各个出点v01，v02，…，v0m，每次从它们中按一定方式（也可任选）选取一个未被访问过的结点，从该结点出发按深度优先遍历方式遍历。显然，因为我们没有规定对出点的遍历次序，所以，图的深度优先遍历结果一般不唯一。例如，对图20-1给出的有向图与无向图，一些遍历结果（结点访问次序）为：左图：从1出发：1，2，4，5；或1，5，2，4从2出发：2，1，5，4；或2，4，1，5右图：从a出发：a，b，c，d；或a，b，d，c;……12543abcd图20-1一个有向图（左）和无向图1.一般算法下面考虑深度优先遍历的递归实现的一般方法（存储结构无关）。图的深度优先遍历与二叉树的前序遍历相似。不同之处有：①二叉树每个结点至多有两个可达邻接点（左右儿子），而图的可达邻接点数目不定；②对二叉树，沿可达邻接点搜索时不会发生回绕，但对图，若不加特别控制，就有可能回绕。下面是图的深度优先遍历递归算法的一般性描述。如果要另设一个数组作为访问标志，则该数组要在递归过程（函数）之外初始化为“未访问”。（二）递归实现方法longDFS(图g，结点v0){//图深度优先遍历递归算法。从结点v0出发，深度优先遍历图g，返回访问到的结点总数intnNodes;//寄存访问到的结点数目访问v0;为v0置已访问标志;nNodes=1;求出v0的第1个可达邻接点v;while(v存在){if(v未被访问过)nNodes=nNodes+DFS(g,v);求出v0的下个可达邻接点v;}returnnNodes;}1254312345101001210010300001410000500000所示图的邻接矩阵g1121304151图20-1有向图访问标识数组visited1245输出数组resu例如从1点深度优先遍历，先把1设置访问标志，并置入输出数组resu，然后从邻接矩阵的第一行，扫描各列，找到最近的邻接点2，将其设置访问标志，并进入输出数组，接着从邻接矩阵的2行扫描，找到第一个构成边的点是1，检查访问标识数组，发现1已经访问过，跳过，找第二个构成边的点4，设置访问标识，进入输出数组，再从邻接矩阵的第4行扫描，寻找构成边的点，除1外在无其他点，返回2行，继续寻找，也无新点，返回1，找到5，将5置访问标志，进入输出数组，1行再无其他新点，遍历结束，返回遍历元素个数为4。2．邻接矩阵实现这里我们为了突出主题、简化问题，假定图是用一般的邻接矩阵存储，邻接矩阵用简单的二维数组表示（静态），用0和1分别表示无边和有边。图结点用自然数编号。longDFS1(intg[][CNST_NumNodes],longn,longv0,char*visited,long*resu，long&top){//深度优先遍历图（递归）。图g为邻接矩阵，结点编号为0~n.返回实际遍历到的结点数目//visited是访问标志数组，调用本函数前，应为其分配空间并初始化为全0(未访问)//resu为一维数组，用于存放所遍历到的结点的编号，调用本函数前，应为其分配空间longnNodes,i;nNodes=1;resu[top++]=v0;//将访问到的结点依次存于resu[]visited[v0]=1;//为v0置已访问标志for(i=0;in;i++){//依次从v0的各个出点出发，深度优先遍历图if(g[v0][i]!=0)//若v0,i是边if(!visited[i])//若结点i未被访问过nNodes=nNodes+DFS1(g,n,i,visited,resu);//从i起深度优先遍历图}returnnNodes;}A如果不想让visited或top做为函数参数，也可以在函数中将其定义为static型量。但是，这样的程序是不可再入的，即函数再次被调用时，static型的量也不重新初始化，造成错误！上面函数中的参数visited和top实质上是中间变量，只是为了避免在递归调用时重新初始化而放在参数表中，造成使用的不方便，为此，做个包装程序：longDFS1(intg[][CNST_NumNodes],longn,longv0,long*resu){char*visited;longtop=0;visited=newchar[n];for(longi=0;in;i++)visited[i]=0;longnum=DFS1(g,n,v0,visited,resu,top);deletevisited;returnnum;}1254312452b5^1d4^5^1^a1c2e3f4^5对应的邻接表图20-2有向图1121304151访问标识数组visited输出数组resu地址起终权信息链a12bb15∧c21dd24∧e35∧f41∧邻接表边PNodes[]终点2作为下次的始点，由于1点已访问过，跳过，找到4，记标识，送输出，4有作为新的始点重复上述过程3．邻接表深度优先遍历的实现templateclassTElem,classTEdgeElemlongDFS2(TGraphNodeALTElem,TEdgeElem*nodes,longn,longv0,char*visited,long*resu,long&top){//深度优先遍历用邻接表表示的图。nodes是邻接表的头数组，n为结点个数（编号为0~n）。//v0为遍历的起点。返回实际遍历到的结点的数目。//visited是访问标志数组，调用本函数前，应为其分配空间并初始化为全0(未访问)//resu为一维数组，用于存放所遍历到的结点的编号，调用本函数前，应为其分配空间longnNodes,i;TGraphEdgeALTEdgeElem*p;nNodes=1;resu[top++]=v0;//将访问到的结点依次存于resu[]visited[v0]=1;//置v0为“已访问”标志p=nodes[v0].firstOutEdge;//求出v0的第一个出点pwhile(p!=NULL){if(!visited[p-endNo])//若p未访问，则从p出发深度优先遍历nNodes=nNodes+DFS2(nodes,n,p-endNo,visited,resu,top);p=p-next;//令p指向v0的下个出点}returnnNodes;}与邻接矩阵的情况类似，也可以对该程序“包装”，以隐蔽visited和top。(三)非递归实现方法1．一般方法下面考虑深度优先遍历的非递归实现的一般方法（存储结构无关）。图的深度优先遍历的非递归实现，仍然与二叉树的前序遍历非递归实现相似。不同之处有：①二叉树每个结点至多有两个可达邻接点（左右儿子），而图的可达邻接点数目不定，因此，当结点重新出现在栈顶时，不能一定出栈，而是要根据它的各出点是否都已被访问过来决定（是则出栈）；②对二叉树，沿可达邻接点搜索时不会发生回绕，但对图，若不加特别控制，就有可能回绕。longDFS_NR(图g，结点v0){//图深度优先遍历非递归算法。从结点v0出发，深度优先遍历图g，返回访问到的结点总数intnNodes;//寄存访问到的结点数目访问v0;为v0置已访问标志;v0进栈S；nNodes=1;求出v0的第1个可达邻接点v;深度优先遍历非递归算法的一般性描述。while(栈S不空){v=栈S顶部元素；求v的下个未访问过的出点i；访问i;为i置已访问标志;i进栈S；nNodes++;if(v已无未被访问过的出点)出栈；}returnnNodes;}上面的伪码描述与具体的数据结构无关。下面的程序分别给出了针对邻接矩阵与邻接表的算法模型。2．邻接矩阵实现longDFS1_NR(intg[][CNST_NumNodes],longn,longv0,long*resu){//深度优先遍历图(非递归）。图g为邻接矩阵，结点编号为0~n.返回实际遍历到的结点数目//resu为一维数组，用于存放所遍历到的结点的编号，调用本函数前，应为其分配空间longnNodes,i,v;longtop;char*visited;long*s;visited=newchar[n];for(i=0;in;i++)visited[i]=0;s=newlong[n+1];top=0;nNodes=0;resu[nNodes++]=v0;//将访问到的结点依次存于resu[]visited[v0]=1;//为v0置已访问标志top++;s[top]=v0;while(top!=0){v=s[top];for(i=0;in;i++)//寻找v的下个未访问的邻接点if(g[v][i]!=0)//若v,i是边if(!visited[i])//若结点i未被访问过{resu[nNodes++]=i;//将访问到的结点依次存于resu[]visited[i]=1;//为i置已访问标志top++;s[top]=i;//i进栈break;}if(i==n)top--;//若v已无未访问到的出点，则将其退栈}//whilereturnnNodes;}下面给出初始结点为1时，得进出栈的过程：15224111进栈，1出栈；2进栈，5进栈，5出栈，2出栈，1进栈，4进栈，4出栈，1出栈。遍历结果为1，5，2，420.3深度优先遍历的性质深度优先遍历有许多重要而有趣的性质，利用它们可以获得有关图的更多的信息。我们这里作一简单介绍。(一)深度优先生成树与单源路径在深度优先遍历中，如果将每次“前进”（纵深）路过的（将被访问的）结点和边都记录下来，就得到一个子图，该子图为以出发点为根的树，称为深度优先生成树。如果从图的多个结点出发才能遍历到所有结点，则图的深度优先遍历树有多棵，从而构成森林，