离心率的五种求法

1离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．一、直接求出,ac，求解e已知标准方程或,ac易求时，可利用离心率公式cea来求解。例1.过双曲线C：)0b(1byx222的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）A.10B.5C.310D.25分析：这里的21,1acb，故关键是求出2b，即可利用定义求解。解：易知A（-1，0），则直线l的方程为1xy。直线与两条渐近线bxy和bxy的交点分别为B)1bb,1b1(、C)1bb,1b1(，又|AB|=|BC|，可解得9b2，则10c故有10ace，从而选A。二、变用公式221()cbeaa双曲线，221-()cbeaa椭圆，整体求出e例2.已知双曲线22221(0,0)xyabab的一条渐近线方程为43yx，则双曲线的离心率为（）A.35B.34C.45D.23分析：本题已知ba34，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。解：因为双曲线的一条渐近线方程为43yx，所以43ba，则2451()33cea，从而选A。1.设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线21yx相切，则该双曲线的离心率等于(C)22221xyab2A.B.2C.D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224ba221145bea.2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12ABBCuuruuur，则双曲线的离心率是()A．B．C．D．答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，，222,4ABBCabuuruuur因此，即224ba，221145bea3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为()A．B．C．D．【解析】因为，再由有即2223ba从而可得22231133bea，故选B356222200xyabab－＝1＞，＞abxy02abxax0422ab22221(0,0)xyababA1,BC23510,0Aa0xya22,,(,)aabaabBCabababab22222222(,),,ababababBCABabababab22221xyab0ab1FxP2F1260FPF223312132(,)bPca1260FPF232,baa3三、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例3.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若2APPBuuruur，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解析】对于椭圆，因为2APPBuuruur，则1.设和为双曲线()的两个焦点,若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为()A．B．C．D．3【解析】由有,则,故选B.2.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）A3B26C36D33解：如图所示，不妨设bM,0，0,1cF，0,2cF，则2221bcMFMF，又cFF221，在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF,即22222222421bccbcbc，∴212222cbcb，∵222acb，∴212222aca，∴2223ca，∴232e，∴26e，故选B3.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（B）22221(0)xyababFABBFxAByP3222131212,2,2OAOFace1F2F22221xyab0,0ab12FF，(0,2)Pb322523tan623cb2222344()cbca2ceaABC△120ABCAB，C4A．B．C．D．4.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，，解得.5.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D）A.22B.212C.22D.12解：由222222221021bPFcacacaeee化为齐次式6.双曲线(0,0)ab的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）A．B．C．D．7.设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，且，则双曲线的离心率为（B）A．B．C．D．2212312131FBFB23312512x22221(0,0)xyabab(,0),(0,)FcBbbaFBbc()1bbac2bac220caac512cea22221xyab12FF，1F30M2MFx6323312FF，2222xyabA1290FAF123AFAF5210215255解12222212222102()()(2)10AFAFAFacaeAFAFcì-==ïï??íï+=ïî8．如图，1F和2F分别是双曲线12222byax（0,0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A3B5C25D136.解析：连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，双曲线的离心率为，选D。9.设1F、2F分别是椭圆12222byax（0ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为c3（c为半焦距）的点，且PFFF221，则椭圆的离心率是（）A213B21C215D2210.设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.332解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0，∴2122222222ababaace，∴42e，∴2e，故选A11.知1F、2F是双曲线12222byax（0,0ba）的两焦点，以线段12FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）32(31)ac316A.324B.13C.213D.13解：如图，设1MF的中点为P，0113360,,,,P(,)2222PPccccOFPPFcxyQ即把P点坐标代人双曲线方程，有22223=144ccab，化简得42840ee解得131-3ee或（舍），故选D四、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例4：设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB是过1F且垂直于x轴的弦，∵1lAD于D，∴AD为1F到准线1l的距离，根据椭圆的第二定义，21211ADABADAFe1．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A2B22C21D42解：221222ADAFe2．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（）A22B2C2D22五、构建关于e的不等式，求e的取值范围71．已知双曲线12222byax（0,0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A2,1B2,1C,2D,22．椭圆12222byax（0ba）的焦点为1F、2F，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若212FFMN，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．21,0B．22,0C．1,21D．1,221.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C2.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D3.已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．(0,1)B．1(0,]2C．2(0,)2D．2[,1)2解析：满足120MFMF的点M总在椭圆内部，所以cb.4.设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（B）A．(22)，B．(25)，C．(25)，D．(25)，22221(0,0)xyabab60obaba322222cabaa≥422221(0)xyabab1F2FxMN，2||2aMNc12||2FFc12MNFF≤22acc22