用对应法解应用题

“对应”是解决数学问题时常用的一种方法，有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是在变化的．为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察、比较和分析，从而找到解题的关键，这种解题的思维方法叫对应法．也是后面要讲的“盈亏问题”的基本方法．【例1】学校图书馆买来一批新书，每班借5本，则多10本；每班借7本，则少20本．一共买来多少本新书？分析：为了清楚地看懂题意，我们把题目中给出的两组对应关系排列在一起：每班借5本——多10本；每班借7本——少20本．两种借法的总数相差20+10=30（本），且两种借法每班相差7-5=2（本），所以每班相差7-5=2（本）与20+10=30(本)相对应．解班级数为：(20+10)÷(7-5)=15（个），买来的新书有：5×15+10=85(本)，或7×15–20=85（本）．答：一共买来85本新书．【例2】为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米，你能算出井深与绳子的长度吗？分析：在题目的条件中，“将绳子3折时，绳子比井深还长出6米，实际上是指绳子的长度比井深的3倍还多6×3=18(米)．而“当他们将绳子4折时，则绳子比井深长出2米”，指的是绳子的长度比井深的4倍还多2×4=8（米）．排列出题设中给出的条件：绳子3折——井深的3倍——多出6×3=18(米)；绳子4折——井深的4倍——多出2×4=8（米）．这样，就可以求出井深与绳长．解：井深：(6×3-2×4)÷(4-3)=10(米)；绳长：10×3+6×3=48（米）．答：井深10米，绳长48米．随堂练习1(1)幼儿园大班的老师拿出一包糖分给小朋友，算了算，如果每人分4块，要多出48块糖；如果每人分6块，则又少8块糖，请你算一算这包糖有多少块？这个班有多少个小朋友？(2)一根长绳截出同样长短的绳子21根后，余41米，如果截出34根，则余2米．这根长绳长多少米？（48+8）÷（6-4）=28（人）28×4+48=160（块）（41-2）÷（34-21）=3（米）【例3】吴老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟走80米，他将迟到5分钟；如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校，吴老师出发时离上班时间还有多少分钟？分析：题目中给出了两个对应的数量关系：每分钟行80米——迟到5分钟；每分钟行200米——提前7分钟，表示从出发到上班这段时间内有以下对应关泵：每分钟行80米——比家到学校的路程少走了80×5-400（米）；每分钟行200米——比家到学校的路程多走了200×7=1400(米)．再根据对应关系求出问题答案．解:从出发到上班这段时间里，骑自行车比步行多行的路程为80×5+200×7=1800(米)，出发时离上班的时间还相差1800÷(200-80)=15（分）．答：吴老师出发时离上班时间有15分钟．说明排列条件显示出对应关系，有利于增强我们分析思考的感性认识，在排列条件时应注意转化题目中某些条件，使排出的条件能反映出对应数量的变化，以便寻找解题的突破口。【例4】王老师到体育用品商店为学校买球，计算了一下，要买5个足球和3个篮球需要付244元；而买2个足球和3个篮球只需付139元．请你算算，足球和篮球每个各多少元？解法一:把①式中的足球数、篮球数、钱数都扩大2倍；把②式中的足球数、篮球数、钱数都扩大5倍，有:5×2个足球，4×2个篮球——共267×2元，2×5个足球，3×5个篮球——共139×5元，即10个足球，8个篮球——共534元，10个足球，15个篮球——共695元．这样，足球数已转化为相同的了．于是，我们可解得篮球价格，进而求出足球价格，篮球价格为(139×5-267×2)÷(3×5-4×2)=161÷7=23(元)，足球价格为(139-23×3)÷2-70÷2=35(元).比较对应排列的条件，就能清楚地看出，①与②中的篮球数量相同，所以①比②所付的钱多105元，是由于足球数多出3个，也就是3个足球共需105元，这样就可以求出每个足球多少元，并求出每个篮球多少元。解足球价格为(244-139)÷(5-2)=105÷3=35(元)，篮球价格为(139-35×2)÷3=69÷3=23（元）．答：每个足球35元，每个篮球23元．想一想如果①式条件改为“买5个足球和4个篮球共需付267元”，②式条件不变，这题又该如何解答？分析排列条件：5个足球，4个篮球——共267元，①2个足球，3个篮球——共139元，②根据例4的解题思路，如果两次购买的足球数或篮球数相同问题就好解决了．那么，在保证基本数量关系不变的情况下，怎样使足球数或篮球数转化成相同呢？可以采用把每组足球数、篮球数、钱数都同时扩大相同倍数的方法．分析为了便于观察分析，我们按数量之间的对应关系，把条件排列出来5个足球，3个篮球——共244元，①2个足球，3个篮球——共139元．②5个足球，4个篮球——共267元，①2个足球，3个篮球——共139元．②解法二能不能使篮球数相同呢？请同学们按照上述方法自己完成解答过程．解法三观察①和②，发现此题两次的足球、篮球的总个数都是7个，可以先求出7个足球和7个篮球的总钱数，再求出1个足球和1个篮球共需钱数，最后分别求出它们的价格．由于(267+139)÷7—406÷7=58(元)，重新排列条件：2个足球，2个篮球——共58×2=116（元），2个足球，3个篮球——共139元篮球价格为139-58×2=23(元)，足球价格为58–23=35(元)．答:每个足球35元，每个篮球23元．练习2小孙买苹果3千克，香蕉2千克，共付款12元；小刘买同样价格的苹果3千克，香蕉5千克，共付款21元．买1千克苹果和1千克香蕉各付多少元钱？3千克苹果，2千克香蕉————共12元，①3千克苹果，5千克香蕉————共21元，②由②-①得香蕉价格：（21-12）÷（5-2）=3元苹果价格：（12-3×2）÷3=2元【例5】有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共15个，红球和黑球共18个，黑球和白球共9个．问：三种球各多少个？分析：将所给条件排列出来：白球数+红球数=15个，①红球数十黑球数=18个，②黑球数十白球数=9个．③观察排列出的条件，若将①+②+③，可得出“白球数十红球数十黑球数”的两倍量．从而求出“白球数十红球数十黑球数”的个数，再对照①②③可分别求出白、红、黑球的个数．解“白球数+红球数十黑球数”为(15+18+9)÷2-42÷2=21（个），黑球数为21-15=6（个），白球数为21-18=3（个），红球数为21-9=12（个）．答：白球有3个，红球有12个，黑球有6个．说明本题站在整体的角度思考问题，显得十分简洁．【例6】王强的爸爸用200元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋，只记得外衣的价钱比帽子贵90元，外衣加帽子的价钱比鞋贵120元，你能帮王强爸爸算出每一件东西的价钱吗？分析把条件按数量关系排列出来：外衣价十帽价十鞋价=200元，①外衣价一帽价=90元，②外衣价十帽价一鞋价=120元．③观察排列出的条件，可以从①和③看出，2倍的鞋价是200—120=80(元)，得出鞋价是40元．①式变成：外衣价十帽价=160元，再与②式对照，不难发现，此题转换成简单的和差问题了．解：鞋的价格为(200-120)÷2-80÷2=40(元),“外衣价十帽价”为200–40=160(元)，外衣的价格为(160+90)÷2—250÷2=125(元),帽的价格为160—125=35(元)．答：鞋价是40元，帽价是35元，外衣价是125元．练习3(1)有红、黄、蓝三种颜色的花，红花、黄花合在一起共15朵，黄花、蓝花合在一起共18朵，蓝花、红花合在一起共9朵．问：三种花各多少朵？(2)一双鞋和一顶帽子共价70元，而两双鞋与三顶帽子的价相等，求一双鞋与一顶帽子价格各是多少元？红花+黄花+蓝花=（15+18+9）÷2=21（朵）；红花=21-18=3（朵）；黄花=21-9=12（朵）；蓝花=21-15=6（朵）一顶帽子：140÷（3+2）=28（元）；一双鞋：70-28=42（元）【例题精选】例1.老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？分析：每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少11个梨，这说明小猴子的总只数为：12＋11＝23（只），也就是说：不足的个数＋多余的个数＝小猴子的只数小猴子的只数为：12＋11＝23（只）梨子的个数为：23×6＋12＝150（个）或：23×7－11＝150（个）例2.阿姨给小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少个小朋友？有多少个苹果？分析：先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分3个，余16个苹果。每人分5个，还差4个苹果。这两次分苹果，每人相差的个数为：5－3＝2（个）。第1次余16个，第2次少4个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：4＋16＝20（个）。每人相差2个，结果总数就相差20个。有小朋友的人数为：20÷2＝10（人）有苹果的个数为：3×10＋16＝46（个）或5×10－4＝46（个）综合算式：（4＋16）÷（5－3）＝10（人），3×10＋16＝46（个）例3.某小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？分析：每车多坐5人，也就是每车坐70人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即70人。因此，问题转化为：如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车坐70人，则还差70人。求有多少人和多少辆汽车。（15＋70）÷（70－65）＝17（辆），65×17＋15＝1120（人）例4.小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？分析：第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2＋4＝8（各）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。假设小明也只分4个，那么就只差：12－2＝10（个）。解小明家的人数为：2×2＋4＋（12－2）＝18（个），18÷2＝9（人）梨子的个数为：4×2＋2×（9－2）＋4＝26（个）或：6＋4×（9－1）－12－26（个）例5.同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？分析：第二种借法中如果每人借3本，则余下（8－3）×2＝10（本）；两种借法每人相差：4－3＝1（本）；两种借法相差本数：10＋2＝12（本）借书的总人数：12÷1＝12（人）；书的总数：4×12－2＝46（本）小结：通过以上例题的分析解答，我们不难看出：一般地，在盈亏问题中：（盈数＋亏数）÷两次差＝参加分配的数；（大盈数－小盈数）÷两次差=参加分配的数；（大亏数－小亏数）÷两次差=参加分配的数例6.学校组织同学们乘车去科技馆参观，原计划每车坐30人，还剩下1人；后来又临时增加了100人，汽车却比原来少1辆；这样每辆车都要坐36人，还剩下5个人，原计划乘坐几辆车？原计划去多少人？分析：如果第一次也增加100人，还减少1辆车，每车仍坐30人，则剩下100＋30+1=131人。这样就变成了人数相等，车也相等，可以与第二次进行对应。