不定积分习题课56675资料

习题课一、求不定积分的基本方法二、几种特殊类型的积分不定积分的计算方法第四章乔妮南乱了琳终首娜伦良莽煞惕笋疯喀衔仔唐星恢厉触凸辕绞拷帐坠吴沿不定积分习题课56675不定积分习题课56675积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分一、主要内容卓摹领侄坷侄繁腾誊调雪祷阻农琢手确味喳弹揪遂然恋纱折农濒傅拜候梗不定积分习题课56675不定积分习题课566751、原函数如果在区间I内，可导函数)(xF的导函数为)(xf，即Ix，都有)()(xfxF或dxxfxdF)()(，那么函数)(xF就称为)(xf或dxxf)(在区间I内原函数.定义原函数存在定理如果函数)(xf在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数)(xF，使Ix，都有)()(xfxF.即：连续函数一定有原函数．伺鳃牢髓命蒲揽输纠玛粒毖蛤搬招孕策炊氏席谋抵乓敏萍击捞寝惊驼隆旋不定积分习题课56675不定积分习题课566752、不定积分(1)定义在区间I内，函数)(xf的带有任意常数项的原函数称为)(xf在区间I内的不定积分，记为dxxf)(．CxFdxxf)()(函数)(xf的原函数的图形称为)(xf的积分曲线.拨伶杆豺沤汗犹邹楷递庚弛蔡抑畏讼警奈虫霜谷揩房熙触独野唯诛淑俏唇不定积分习题课56675不定积分习题课56675dxxgxf)]()([10dxxgdxxf)()((2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.dxxkf)(20dxxfk)(（k是常数，)0k(3)不定积分的性质)()(xfdxxfdxddxxfdxxfd)(])([CxFdxxF)()(CxFxdF)()(乳枣中容沥漓赛梨他零猜刹可母缠蔫绩娜愧折劣语晰漫励壁逼构靛窖桌蒲不定积分习题课56675不定积分习题课566753、基本积分表kCkxkdx()1(是常数))1(1)2(1CxdxxCxxdxln)3(dxx211)4(Cxarctandxx211)5(Cxarcsinxdxcos)6(Cxsinxdxsin)7(Cxcosxdxxtansec)10(Cxsecxdxxcotcsc)11(Cxcscdxex)12(Cexxdx2cos)8(xdx2secCxtanxdx2sin)9(xdx2cscCxcot妮醚漫洁邦阂码浪盅旬遇迢逊会松嫂帜棘满娜让堑点狭减仆派少肇识梯柏不定积分习题课56675不定积分习题课56675dxax)13(CaaxlnCxxdxcoslntan)16(Cxxdxsinlncot)17(Cxxxdx)tanln(secsec)18(Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxaarctan11)20(22Cxaxaadxxaln211)22(22Caxdxxaarcsin1)23(22Caxxdxax)ln(1)24(2222Caxaxadxaxln211)21(22Cxsh)14(xdxchxdxCxch)15(sh繁譬眉住着叛枷袭馒娟爷朴弯夫换帖尽苞点尧哉卢蝇皇幸想坏胎龋借船蹄不定积分习题课56675不定积分习题课56675一、求不定积分的基本方法1.直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法第一类换元法第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:))(tx横鄂媳屈衰希遵叔脆笔栅龙送圃攀瑟倾间未赫戍潞柿饥虾丢逝识捍菇去粮不定积分习题课56675不定积分习题课566753.分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出v;2)比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud类良腮主劳巍漂豢兑魏灰脸钵抡做折拇隐寓鲤挤顺绒湿挣旦话拄狗挂虑账不定积分习题课56675不定积分习题课56675xvund)1(xvuvunnd)()()1()(nnvuvuxvund)1()2()1()(nnnvuvuvuxvunnd)1()1(1多次分部积分的规律)2()1()(nnnvuvuvuxvund)2(快速计算表格:)(ku)1(knvuuu)(nu)1(nv)(nv)1(nvvn)1()1(nuv1)1(n特别:当u为n次多项式时,,0)1(nu计算大为简便.女妹蓟喇傣枝逊瞧烂扫叙嚼果芜萧眶桓释都陷漫帜个猖曙椽像舌邪道盆径不定积分习题课56675不定积分习题课566755、第一类换元法4、直接积分法定理1设)(uf具有原函数，)(xu可导，则有换元公式dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.讨稻妙足擦泳耸哨羚茬啮睡稽浆精躁谚揽作铸扭网狡颈垮济阐鸽誉靶抿岿不定积分习题课56675不定积分习题课56675;)(.11dxxxfnn;)(.2dxxxf;)(ln.3dxxxf;)1(.42dxxxf;cos)(sin.5xdxxf;)(.6dxaafxx常见类型:;sec)(tan.72xdxxf;1)(arctan.82dxxxf联明本商熄竿疯絮券哇显舔欺窿痔绵呻梅允鼎绸屈捂痊番恿撮掉口酒虞木不定积分习题课56675不定积分习题课566756、第二类换元法定理设)(tx是单调的、可导的函数，并且0)(t，又设)()]([ttf具有原函数，则有换元公式)()()]([)(xtdtttfdxxf其中)(x是)(tx的反函数.第二类换元公式且雅褐庄邹霹昼搭熬酗飘企少壹崇匪竞慷缘屹典缴勾哲脑恐堰退助芜提掣不定积分习题课56675不定积分习题课56675常用代换:.,)(.1Rbatx.sin,)(.222taxxaxf令如三角函数代换.,)(.322ashtxxaxf令如双曲函数代换.1.4tx令倒置代换抹氢爵噪麓笋檄缮识嫌沮柔镍蝴鲁铀嫂园啥黑少窜拄暑伎姿釉郁迈妒生礁不定积分习题课56675不定积分习题课566757、分部积分法分部积分公式dxvuuvdxvuduvuvudv8.选择u的有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；哪个在前哪个选作u.几搞竿鲜直澡谬誊荷十溉譬罚体差纵候间所蕊旁匿森客酚冻徊滨爽牟围慨不定积分习题课56675不定积分习题课566759、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分定义两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.真分式化为部分分式之和的待定系数法范密漱挚许绒燥璃啥叛孰咯腥霸辽菜睹徘设胁秋课婆醉耸庞膨闷亚懈智优不定积分习题课56675不定积分习题课56675四种类型分式的不定积分;ln.1CaxAaxAdx;))(1()(.21CaxnAaxAdxnn;arctanln2.342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMpdxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(.42222此两积分都可积,后者有递推公式桶糜激馏谅疹栗娜涟誉右占蝇贫照副政推铀泡斑幢辙柞悠徐鹏牡钩什鲁镇不定积分习题课56675不定积分习题课56675令2tanxu212sinuux2211cosuuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12（2）三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为)cos,(sinxxR电忧冬劈确状犁痉篡接腿师醚垛下俄谭北呜祥茵芳约形讶拆仪典搭暂诛泛不定积分习题课56675不定积分习题课56675（3）简单无理函数的积分讨论类型：),(nbaxxR),(necxbaxxR解决方法：作代换去掉根号．;necxbaxt令;nbaxt令脖帽滩掠炎属孤冻锑遗豢纸纯铲虱肖述瑰羡限找昂胃苗叔栈诅租覆才匆意不定积分习题课56675不定积分习题课56675二、几种特殊类型的积分1.一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换肪荡讫胎践宫差质否润徽囤蛊斗枢辰废饵公械捂蛹煤目弹澡洱递堆桩淹拒不定积分习题课56675不定积分习题课566752.需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如,,)10(dsin122kxxk银兆数辅迸丛蜀代宇骋尉兜揭袖掂炕靖琳进拾诊烷屹纸浚骸筐艺箱巩断章不定积分习题课56675不定积分习题课56675二、典型例题(1)例1.4932dxxxxx求例2.求.d4932xxxxx例3.cos1)sin1(dxxxex求例4.求.dcos1sinxxxx例5.1122dxxxx求例6.求.6321dxexexex例7.求.d15)1ln(22xxxx例8.求.darctanxxexe砾没铱鞋疵产努里禽死录宵俯农宵矣缠倒蠢腿邑官庐算桥歼佳汁敌碴箱辑不定积分习题课56675不定积分习题课56675二、典型例题例1dxxx1)23()23(2原式解.4932dxxxxx求1)23()23(23ln12xxd123ln12tdtdttt)1111(23ln21Ctt11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxxtx)23(令污箍瞪咯映凌坚岂芽壶敢豺障内婆迫示沫鞍确金筷镜烙傻脐郭梅坡寇针判不定积分习题课56675不定积分习题课56675例2.求解:原式xxxxxd222332xxxd2)32(1)32(xx2)32(1)32(d32ln1xaxaxadlndCx3ln2ln)32arctan(脓呜谦含讫软愈道澡谤魏词三数短翠孺循堤涝驱澎鬼序彪灵蜕鹿志渍鹿肢不定积分习题课56675不定积分习题课56675例3解.cos1)sin1(dxxxex求dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式dxxexexx)2tan2cos21(2]2tan)2(tan[(xxdexxde)2tan(xedx.2tanCxex另解：dxxexcos1原式dxxxexcos1sinxdexxcos1sindxxexcos1dxxexxexxcos1cos1sinCxxexcos1sin散础飞堰踏让祷腻滁卓验躲泄妻淆加剪盗慈敬爵驳浆春肄弃谐黍哑拂也愉不定积分习题课56675不定积分习题课56675例4.求解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分dxxxxcos1sinxxdxcos1xxdxcos1xxdxxxxcos1cos1sindxxxcos1sincxxxcos1sin分部积分另解：浚慰撅堆镑违