高一数学同步辅导讲义(专题讲解)

高一寒假数学同步辅导讲义（专题讲解）第一章集合与简易逻辑专题讲解一、集合的概念、运算与不等式1．在解题过程中，要善于理解和识别集合语言（即符号和图形语言），并会用集合语言准确地叙述。2．特别要注意在集合中表示关系的两类符号∈、与、的区别，元素与集合间的从属关系用∈、表示，集合与集合之间的包含与相等的关系用、、、、=表示.3．给定两个集合A，B，它们的运算意义为：A∩B=BxAxx且，A∪B=BxAxx或，CSA=AxSxx且,.这些运算都是同逻辑连词“且”与“或”紧密相连的，“且”表示两条件要同时成立，“或”表示两条件中要至少有一个成立.理解好这些逻辑连词是思考、表达事件之间关系并正确推理的基础.集合的运算有时要用关系：Cs(A∪B)=（CsA）∩（CsB），Cs（A∩B）=（CsA）∪（CsB），与此有关问题的运用韦恩图有示更直观.见表1—9.4．集合M=naaa,,,21的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数为2n—1，非空真子集个数为2n－2.含绝对值的不等式和一元二次不等式的解法不仅为今后学习提供了工具，同时也为研究集合与命题间的逻辑关系提供了具体的数学模型.表1命题或且否定┐蕴涵等价集合并集∪交集∩补集C子集相等=关键字词或且非若……则……当且仅当必须且只须自反性A∪A=AA∩A=ACU(CU)A=AAA真子集无A=A对称性A∪B=B∪AA∩B=B∩ACBA=CABA=A若A=B则B=A传递性若AB，BC则AC若A=B，B=C，A=C结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∪C=(A∩C)∪(B∪C)(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∩C)摩根律CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)【例1】已知集合M=Rxxyy,12，N=Rxxyy,1，则M∩N=（）A．（0，1）（1，2）B．)2,1(),1,0(C．21yyy或D．1yy分析集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对（x，y），因此M，N分别表示函数y=x2+1（x∈R），y=x+1（x∈R）的值域，求M∩N即求两函数值域的交集.解M=Rxxyy,12=1yy，N=Rxxyy,1=Ryy.∴M∩N=1yy∩Ryy=1yy，故选D.说明（1）本题求M∩N.经常发生解方程组112xyxy得10yx或21yx从而选B错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么，事实上M，N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.（2）集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分Rxxyx,12，Rxxyy,12，Rxxyyx,1),(2这三个集合是不同的.【例2】给出下面元素与集合或集合之间的关系：（1）00；（2）0∈0；（3）Φ∈；（4）a∈a；（5）Φ=0；（6）0∈Φ；（7）Φ∈0；（8）Φ0，其中正确的是（）A．（2）（3）（4）（8）B．（1）（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）（6）D．（2）（3）（4）（7）分析依次判断每个关系是否正确，同时用排除法筛选.解（1）应为0∈0；（2）（3）（4）正确，排除B，再看（6）（7）（8）哪个正确，由Φ是0的子集，因此（8）正确，故选A.说明0与0只有一种关系：0∈0；R与R；Φ与0也只有一种关系：Φ0.【例3】已知集合A=Rxxmxx,01)2(2，若A∩R+=Φ，则实数m的取值范围是__________.分析从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩R+=Φ可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围.解由A∩R+=Φ又方程x2+(m+2)x+1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，即.0)2(04)2(2mm或△=(m+2)2－4＜0.解得m≥0或－4＜m＜0，即m＞－4.说明此题容易发生的错误是由A∩R+=Φ只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因此方程无零根），而把A=Φ漏掉，因此要全面正确理解和识别集合语言.【例4】已知集合A=0232xxx，B=012aaxxx，且A∪B=A，则a值为__________.分析由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值.解∵A∪B=A，∴BA，∵A=2,1，∴B=Φ或B=1或B=2或B=2,1.若B=Ø，则令△＜0得a∈Ø；若B=1，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B=2，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根.∴a∈Ø；若B=2,1，则令△＞0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3，综上a的值为2或3.说明本题不能直接写出B=（），因为a（）可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.【例5】命题甲：方程x2+mx+1=0有两个根异负根；命题乙：方程4x2+4(m－2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围.分析使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合而为B，有且只有一个命题成立是求A∩CRB与CRA∩B的并集.解因使命题甲成立的条件是△1=m2－4＞0，且－m＜0，所以解得m＞2，即集合A=2mm；因使命题乙成立的条件是△2=16(m－2)2－16＜0，所以解得1＜m＜3，即集合B=31mm.若命题甲、乙有且只有一个成立，则m∈A∩CRB或m∈CRA∩B，而A∩CRB=2mm∩31mmm或=3mm，CRA∩B=2mm∩31mm=21mm，所以综上所求m的范围是321mmm或.说明（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；（2）用集合语言来表示m的满园即准备又简明.二、一元二次方程实根的分布【例1】关于x的方程3x2－5x+a=0，实数a在什么范围内，一个根大于－2，而小于0，另一个根大于1，而小于3？解由题意，a应满足条件03533)3(053)1(0)0(0)2(5)2(3)2(22afafafaf解得－12＜a＜0.【例2】关于x的方程2x2+3x－5m=0，有两个小于1的实根，求实根m的取值范围.解二次函数图像是开口向上的抛物线，对称轴x=－43，在x=1的左侧.这样抛物线与x轴有两个交点的横坐标都小于1，所以应满足的条件是：04090532)1(mmf解得－409≤m＜1.【例3】关于x的方程x2―2tx+t2―1=0的两个根介于―2和4之间，求实数t的取值范围.解由题意可知，t需满足42204)1(440158)4(034)2(2222tabttttfttf解得－1＜t＜3.说明讨论二次方程实根的分布，常有以下一些结论（设方程f(x)=ax2+bx+c=0（a＞0）两实根为x1，x2）：（1）若m＜x1＜n＜p＜x2＜q，则方程系数应同时满足下列不等式组：0)(0)(0)(0)(2222cbqaqqfcbpappfcbnannfcbmammf特别地，当方程f(x)=0有一正根，一负根，即x1＜0，x2＞0，则应用f(0)=c＜0；若方程f(x)=0有一个根大于k，一个根小于k，则应有f(k)＜0.（2）若二次方程f(x)=0的两面根在区间（m，n）内，则应同时满足nabmnfmf200)(0)(特别地，若f(x)=0两根都大于k时，则有.2,0,0)(kabkf三、四种命题与充要条件1．所谓命题，是指可以判断其真假的陈述语句，一个陈述语句所叙述的事情符合事实，我们称它为真命题，反之，一个陈述语句所叙述的事情违反事实，我们称它为假命题.2．命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题，其中原命题与逆否命题是等价的，逆命题与否命题是等价的。3．充分条件和必要条件是用来区分命题的条件A与结论B之间的关系的数学概念，若AB，则称A是B成立的充分条件；若BA，则称A是B成立的必要条件；若AB成立的充要条件.4．由于互为逆否的两个命题是等价的，因此AB与┐B┐A等价，可由┐B┐A得A是B成立的充分条件；又BA与┐A┐B等价，可由┐A┐B得出A是B的成立的必要条件.5．充要条件的概念对证明问题的方法——综合法、分析法起着指导性作用，综合法的特点是由因导果，即由命题的条件出发，寻找命题结论成立的充分条件；分析法的特点是执果索因，即由命题的结论出发，寻找结论成立的充分条件.6．判断充要条件问题时，要按以下步骤进行：（1）明确命题中的条件A是什么，结论B是什么；（2）由条件A推导结论B；若AB，则A不是B成立的充分条件，若AB，A是B成立的充分条件；（3）由结论B推条件A，若BA，则A是B成立的必要条件，若BA，则A不是B成立的必要条件.7．“有且仅有”，“当且仅当”，“须且只须”等用语都是指既有充分性又有必要性的.【例1】┐A是命题A的否命题，如果B是┐A的必要非充分条件，那么┐B是A的______条件.分析此题就是要判断┐BA和A┐B是否成立，根据必要条件概念及互为逆否的两个命题等价来处理。解由B的┐A的必要条件，则有┐AB，且B┐A，由互为逆否等价，得┐BA且A┐B，因此┐B是A的充分而非必要条件.说明解本题须掌握命题的四种形式及其关系，即原命题与逆否命题同真同假.逆命题与否命题同真同假.【例2】若下列三个方程：x2+4ax―4a+3=0，x2+(a―1)x+a2=0，x2+2ax―2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围.分析若直接求，须分三大类七种情况，其过程不仅繁杂，而且极易出错，故不宜采用.考虑到“三个方程中至少有一个方程有实根”的否命题为“三个方程都无实根”.设原命题的否命题的范围为A，则原命题所求a的范围即为CRA.解若三个方程都无实根△1=(4a)2―4(―4a+3)＜0―23＜a＜21△2=(a―1)2―4a2＜0a＜－1或a＞31△3=(2a)2―4(―2a)＜0－2＜a＜1A=(―23，―1)CRA=23,∪,1.∴三个方程中至少一个方程有实根的a的范围为23,∪,1.说明由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，所以当一个命题正面入手困难的时候，可以考虑其反面，利用等价转化的思想促使命题转化.巩固练习一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.下列命题正确的是()A.211{实数集}B.211|35xxC.211|35xxD.{211}|35xx2．在①1{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}{0,1,2}；④、{0}上述四个关系中，错误的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个3．已知全集}12|{xxU，}12|{xxA，}02|{2xxxB，}12|{xxC，则（）A、ACB、ACCUC、CBCUD、BACU4．已知集合}1|{xxM，}|{txxP，若PM，则实数t应该满足的条件是（）A、1tB、1tC、1tD、1t5．下列说法正确的是（）A、任一集合必有真子集；