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高一数学预科第1讲:集合及其运算一、集合的含义与表示:1.集合的表示方法:①②③2.关于集合的元素的特征:(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。(3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示;(1)如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA(“∈”的开口方向,不能把a∈A颠倒过来写奎屯王新敞新疆)4.常用数集的记法:(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合奎屯王新敞新疆记作N,,2,1,0N(2)正整数集:非负整数集内排除0的集奎屯王新敞新疆记作N*或N+,3,2,1*N(3)整数集:全体整数的集合奎屯王新敞新疆记作Z,,,,210Z(4)有理数集:全体有理数的集合奎屯王新敞新疆记作Q,整数与分数Q(5)实数集:全体实数的集合奎屯王新敞新疆记作R数数轴上所有点所对应的R5.两个集合相等:如果两个集合所含的元素完全相同,则称这两个集合相等。6.有限集合、无限集合、空集的定义例题1.下列各组对象不能组成集合的是()A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点练习:下列条件能形成集合的是()A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、填空:或用符号(1)-3N;(2)3.14Q;(3)31Q;(4)0Φ;(5)3Q;(6)21R;(7)1N+;(8)R。练习:下列结论中,不正确的是()A.若a∈N,则-aNB.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则Ra3例题3:用列举法表示下列集合:①{|xx是15的正约数}②{(,)|{1,2},{1,2}}xyxy③{(,)|2,24}xyxyxy④{|(1),}nxxnN⑤{(,)|3216,,}xyxyxNyN例题4:用描述法表示下列集合:①{1,4,7,10,13};②{2,4,6,8,10}③{}1,1,1,1--鬃?课堂练习:1.下列说法正确的是()A.1,2,2,1是两个集合B.(0,2)中有两个元素C.6|xQNx是有限集D.2|20xQxx且是空集2.将集合|33xxxN且用列举法表示正确的是()A.3,2,1,0,1,2,3B.2,1,0,1,2C.0,1,2,3D.1,2,33.给出下列4个关系式:3,0.3,0,00RQN其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列元素与集合的关系中正确的是()A.N21B.2{xR|x≥3}C.|-3|N*D.-3.2Q5.给出下列四个命题:(1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合;(3)1,23,46,21,0.5这些数字组成的集合有5个元素;(4)集合{(x,y)|xy≤0,x,yR}是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.36.下列集合中表示同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={2,1}7.已知xN,则方程220xx的解集为()A.{x|x=-2}B.{x|x=1或x=-2}C.{x|x=1}D.8.已知集合M={mN|8-mN},则集合M中元素个数是()A.6B.7C.8D.919.方程组25xyxy的解集用列举法表示为____________.10.已知集合A=20,1,xx则x在实数范围内不能取哪些值___________.11.用符号“”或“”填空:0_______N,5______N,16______N.12.用列举法表示A={y|y=x2+1,-2≤x≤2,xZ}为_______________.13.用描述法表示集合“方程x2-2x+3=0的解集”为_____________.14.集合{x|x3}与集合{t|t3}是否表示同一集合?________15.已知集合P={x|2xa,xN},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=_________.二、集合间的基本关系1:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗?(1){1,2,3},{1,2,3,4,5}AB;(2)设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;(3)设{|},{|};CxxDxx是两条边相等的三角形是等腰三角形(4){2,4,6},{6,4,2}EF.一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为B的子集.记作:()ABBA或读作:A包含于B(或B包含A).如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等.2.真子集:如果集合ABÍ,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)3.空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定空集是任何集合的子集4.含有n个元素的集合A的子集个数为n2,真子集的个数为n21-,非空真子集的个数为n22-课堂练习:1.用适当的符号填空:(1)a{a,b,c}(2)0{x|x2=0}(3){x∈R|x2+1=0}(4){0,1}N(5){0}{x|x2=x}(6){2,1}{x|x2-3x+2=0}2.写出集合A={1,2,3,4}的所有子集3.判断下列两个集合的关系(1)A={1,2,4}B={x|x是8的约数}(2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N}(3)A={x|x是4和10的公倍数,x∈N+},B={x|x=20m,m∈N+}4.已知集合A={2,8,a},B={2,a2-3a+4},又AB,求出a之值5.已知集合A={x|-3≤x≤4}B={x|2m-1≤x≤m+1},当BA时,求出m之取值范围三、集合的基本运算1并集:已知集合A={1,2,3},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6}一般地,由所有属于集合A或属于集合A的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作:A并B),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}用Venn图表示:说明:定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。讨论:A∪B与集合A、B有什么特殊的关系?A∪A=,A∪Ф=,A∪BB∪AA∪B=A,A∪B=B.例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B例2:设集合A={x|-1x2},集合B={x|1x3},求A∪B2.交集:已知集合A={2,4,6,8,10},集合B={3,5,8,12},集合C={8},集合A、B、C之间有什么关系?一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”)即A∩B={x|x∈A,且x∈B}用Venn图表示:(阴影部分即为A与B的交集)常见的五种交集的情况:讨论:A∩B与A、B、B∩A的关系?A∩A=A∩Æ=A∩BB∩AA∩B=AA∩B=B例1:设A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},求A∪B,A∩B例2.已知A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∪B,A∩B3.补集在研究问题时,我们经常需要确定研究对象的范围,一般地,如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有ABA(B)ABBABA2元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U,对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集,简称为集合A的补集,记作记作:UCA,读作:“A在U中的补集”,即,UCAxxUxA且用Venn图表示:(阴影部分即为A在全集U中的补集)讨论:集合A与UCA之间有什么关系?→借助Venn图分析,,()UUUUACAACAUCCAA,UUCUCU练习:(1)U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则UCA=,UCB=;(2)设U={x|x8,且x∈N},A={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则UCA=;(3)设U={三角形},A={锐角三角形},则UCA=。集合及其运算巩固练习题一、选择题:(以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是()A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2.方程组20{yxyx的解构成的集合是()A.)}1,1{(B.}1,1{C.(1,1)D.}1{3.已知集合A={a,b,c},下列可以作为集合A的子集的是()A.aB.{a,c}C.{a,e}D.{a,b,c,d}4.下列图形中,表示NM的是()5.下列表述正确的是()A.}0{B.}0{C.}0{D.}0{6、设集合A={x|x是参加自由泳的运动员},B={x|x是参加蛙泳的运动员},对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A∩BB.ABC.A∪BD.AB7.集合A={xZkkx,2},B={Zkkxx,12},C={Zkkxx,14}又,,BbAa则有()A.(a+b)AB.(a+b)BC.(a+b)CD.(a+b)A、B、C任一个8.集合A={1,2,x},集合B={2,4,5},若BA={1,2,3,4,5},则x=()A.1B.3C.4D.59.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是()A.8B.7C.6D.510.全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是()A.ABB.BAC.BCACUUD.BCACUU11.设集合{|32}MmmZ,{|13}NnnMNZ则,≤≤()A.01,B.101,,C.012,,D.1012,,,12.如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素,则a的值是()A.0B.0或1C.1D.不能确定二、填空题(把答案填在题中横线上)13.用描述法表示被3除余1的集合.14.用适当的符号填空:(1)}01{2xx;(2){1,2,3}N;(3){1}}{2xxx;(4)0}2{2xxx.15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba,又可表示成}0,,{2baa,则20042003ba.16.已知集合}33|{xxU,}11|{xxM,}20|{xxNCU那么集合)(NCMU,NM.三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.设全集,1233456UxABx是小于9的正整数,,,,,,,求A∩B,A∪B,UCA,UCB.MNAMNBNMCMND318.设全集4,23,33UxxAxxBxx集合,求UCA,AB,,(),()()UUUABCABCACB19.不等式组063012xx的解集为A,U=R,试求A及ACU20.已知U={x∈N|x≤10},A={x|x是小于10的正奇数},B={x|x是小于11的质数},求CUA,CUB.21
本文标题:高一数学预科班讲义
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