§4-1-随机变量的期望

第四章随机变量的数字特征4.1随机变量的期望4.1.1离散型随机变量的期望定义4-1设离散型随机变量X的分布律为也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1)(kkkpxXE1||kkkpx如果有限,定义X的数学期望P{X=xk}=pk,k=1,2,…12:(1),,,nXxxx注当的可能取值为有限多个时,1(),niiiEXxp12(2),,,nXxxx当的可能取值为可列多个,时,1().iiiEXxp例4-1设随机变量X的分布律为X-101P0.30.20.5求E(X).解E(X)=(-1)Х0.3+0Х0.2+1Х0.5=0.2例4-2甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为X012P00.20.8Y012P0.10.80.1试比较它们成绩的好坏.解分别计算X和Y的数学期望:E(X)=0Х0.3+1Х0.2+2Х0.8=1.8(分)，E(Y)=0Х0.1+1Х0.8+2Х0.1=1(分).这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于1.8分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲.下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望.1.两点分布随机变量X的分布律为X01P1-pp其中0p1，有E(X)=0X(1-p)+1Xp=p.2.二项分布设X~B(n,p),即{}(01)1iiniinpPXiCpqi,,,n,qp,从而有()=niinini1EXiCpq.np3.泊松分布设X~P(λ)其分布律为{}=(01),!iePXii,,i则X的数学期望E(X)=λ.~(5,),()1.6,.XBpEXp设随机变量已知求参数例4-3~(5,),()1.6,5.XBpEXnpn由已知因此解1.650.32.p所以，1,{1}0.4,()0.2,.XxPXEXx已知随机变量的所有可能取值为和且＝＝求例4-4{1}0.4,()0.40.60.2,PXEXx由已知得解1-.3x从而下面介绍离散型随机变量函数的数学期望.定理4-1设离散型随机变量x的分布律为{},1,2,.kkPXxpk1(),(),kkkYgXgxpY令若级数绝对收敛则随机变量的数学期望为1()[()]().kkkEYEgXgxp4-5X设随机变量的分布律为例10120.30.20.40.1XP21,().YXEY令求()(2(1)1)0.3(201)0.2(211)0.4(221)0.11.6.EY解4-6X设随机变量的分布律为例100.5120.30.20.10.10.3XP2,().YXEY令求21122222()()(1)0.300.20.50.110.120.31.625.kkkkkkEYgxpxp解(),(),(),()(),().XfxxfxdxXExxEfdXxx设连续型随机变量的概率密度为若广义积分绝对收敛则称该积分为随机变量的数学期望简称期望或义均值记为即定4-2连续随变4.1.2型机量的期望X设随机变量的概率密度为例4-72,01,()0,.xxfx其他().EX求()()EXxfxdx解0101()()()xfxdxxfxdxxfxdx102xxdx1202xdx13022.33xX设随机变量的概率密度为例4-8222cos,||,()0,.xxfx其他().EX求()()EXxfxdx解2222cosxxdx0.下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.1.均匀分布[,],Xab设随机变量在上服从均匀分布其概率密度为1,()0.axbfxba，，其他()()EXxfxdx则[,].ab在区间上服从均匀分布的随机变量的数学期望是该区间中点2.ab2.指数分布0X设随机变量服从参数为的指数分布,其概率密度为,0,()0,0.xexfxx()EX则即指数分布的数学期望为参数的倒数.1,3.正态分布2~(,)XN设其概率密度为22(),21(),2xfxex()XEX则的期望..下面介绍连续型随机变量函数的数学期望,(),(),XXfxYgX设为连续型随机变量其概率密度为又随机变量定理4-2|()|(),Xgxfxdx则当收敛时有()[(()().)]XgxfxdxEYEgX,[0,],Va风速是一个随机变量设它服从上均匀分布其概率密度为例4-91,0,()0,.xafxa其他2,(0),.WVWkVkW又设飞机机翼受到的压力是风速的函数常数求的数学期望22()()()EWEkVkvfvdv解201akvdva21.3kaX设的概率密度为例4-10,01,()2,12,0,.xxfxxx其他|()|.EXEX求()()EXxfxdx解12201(2)xdxxxdx122323101111.33xxx|()||1|EXEXEX1201|1||1|(2)xxdxxxdx1201(1)(1)(2)xxdxxxdx1.32~(,),,().XXNYeEY设令求例4-112~(,),XNX因为从而的概率密度为解22()21(),,2xXfxex,因此22()21(),2xxEYeedx,xt令则2222().2tteEYedte4.1.3二维随机变量函数的期望(1)(,),{,},ijijXYpPXxYy若为离散型随机变量若其分布律为定理4-3边缘分布律为,,iijjijjipppp则(),iiiijiiiEXxpxp().ijiijjiiEYypyp(2)(,),(,),(),()(,)XYXYfxyfxfyXY若为二维连续型随机变量分别为的概率密度与边缘概率密度,则()()(,),XEXxfxdxxfxydxdy()()(,).YEYyfydyyfxydxdy(,),(,)(,),gXYXYgXY设为连续函数对于二维随机变量的函数定理4-4(1)(,),|(,)|,ijijijXYgxyp若为离散型随机变量级数收敛则(,)(,).ijijijEgXYgxyp(2)(,),|(,)|(,),XYgxyfxydxdy若为连续型随机变量且积分收敛则(,)(,)(,).EgXYgxyfxydxdy(,)XY已知的分布率为例4-12:(1)(23);(2)().EXYEXY求01100311126XY(1)由数学期望定义知解(23)(23)ijijijEXYxyp111(2030)(2031)0(2130)(2131)32611.6(2)()()ijijijEXYxyp1111(00)(01)0(10)(11).3266(,)XY设二维随机变量的概率密度为例4-132,01,0,(,)0,.xyxfxy其他(1)();(2)();(3){1}.EXYEXYPXY求：质4.1.4期望的性1(),.ECCC性质其中为常数2()().ECXCEX性质3()()().EXYEXEY性质12121211()()(),.()(),(1,2,,)nniiiiiiiECXCYCEXCEYCCECXCEXCin推广：其中,为常数其中是常数.,()()().XYEXYEXEY性质4若与是相互独立的随机变量则12,,,nXXX由数学归纳法可证得：当相互独立时有1212()()()().nnEXXXEXEXEX1212(1,2,,)0101101,19,,,.,.iinnXinXPpppqXXXXXXXX设服从分布其中且,相互独立令+求的期望例4-14,X.由二项分布的定义知服从二项分布因此，解法1().EXnp12(),,inEXpXXXX因为由期望性质知解法212()()()().nEXEXEXEXnp4,4.15,30,55,100.3,4.5人进行射击比赛每人射发在射击时,约定某人全部不中得0分，只中一弹得分中两弹得分中三弹得分中四弹得四人射击的命中率都为求人射击总得分的期望例4-15(1,2,3,4)iXii设表示第个射手的得分,则它的分布律为解040043216{0},55625iPXC141143296{15},55625iPXC2422432216{30},55625iPXC3433432216{55},55625iPXC444443281{100},55625iPXCiX则的期望为169621621681()015305510044.64.625625625625625iEX123454,,4XXXXXXX用表示个射手的总得分则=从而人射击总得分的数学期望为12345()()()()()()444.64178.65.EXEXEXEXEXEX0153055100169621621681625625625625625iXP即练习1.设随机变量X服从正态分布N(2,4),Y服从均匀分布U(3,5),则E(2X-3Y)=_____.2.设随机变量X与Y相互独立,其分布律分别为则E(XY)=________.3.设随机变量X的概率密度为,,0;10,2)(其他xxxf则E(X)=________.4.设随机变量X的概率密度为，xbaxxf其他,0,10,)(且E(X)=7.12求:常数a,b.5.设二维随机变量(X,Y)的分布律为且已知E(Y)=1,试求:(1)常数α,β;(2)E(XY);(3)E(X).01200.10.20.110.2XY