空间直角坐标系-习题(含答案)

试卷第1页，总4页空间直角坐标系习题（含答案）一、单选题1．已知1,0,2A，1,3,1B，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）．A．3,0,0B．0,3,0C．0,0,3D．0,0,32．已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在轴上取一点Q，使得|𝑃𝑄|最小，则Q点的坐标为().A．(0，0，1)B．(0，0，2)C．(0，0，3)D．(0，1，0)3．如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=√2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则点M的坐标为()A．(1,1,1)B．(√23,√23,1)C．(√22,√22,1)D．(√24,√24,1)4．在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,−4),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,−1),则𝑃𝐴与底面𝐴𝐵𝐶𝐷的关系是()A．相交B．垂直C．不垂直D．成60°角5．已知1,1,0AB，0,1,2C，若2CDAB，则点D的坐标为（）A．2,3,2B．2,3,2C．2,1,2D．2,1,26．以𝐴(1,3),𝐵(−5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是A．3𝑥−𝑦−8=0B．3𝑥+𝑦+4=0C．3𝑥−𝑦+6=0D．3𝑥+𝑦−2=07．已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）A．x+5y-15=0B．x=3C．x-y+1=0D．y-3=08．下列命题中错误的是()试卷第2页，总4页A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)B．在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)D．在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)9．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点且|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=13，则点C的坐标为()A．(72,−12,52)B．(38,−3,2)C．(103,−1,73)D．(52,−72,32)二、填空题10．已知点（4，m）到直线x+y-4=0的距离等于1，则m的值为．11．已知圆22:131Cxy和两点0,,0,(0)AmBmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则实数m的取值范围为__________．12．设向量𝑎=(2,2𝑚−3,𝑛+2)，𝑏=(4,2𝑚+1,3𝑛−2)，且𝑎∥𝑏，则𝑎⋅𝑏的值为_____________．13．已知点A(-2,3,4),在z轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为________．14．棱长为2个单位的正方体1111ABCDABCD，中，以D为坐标原点，以DA，DC，1DD，分别为x，y，z坐标轴，则1BC与1BC的交点E的坐标为__________．15．在空间直角坐标系中,设A(m,1,3),B(1,-1,1),且|𝐴𝐵|=2√2,则m=________.16．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为a，112AMMC，点N为1BB的中点，则MN__________．17．在空间直角坐标系Oxyz中，点2,1,3P关于平面xOy的对称点坐标为__________．18．设3,3,1,1,0,5,0,1,0ABC，则AB中点M到C的距离CM_______.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：𝑥2+𝑦2=4与𝑥轴的正半轴交于点𝐴，以点𝐴为圆心的圆𝐴：(𝑥−2)2+𝑦2=𝑟2(𝑟0)与圆𝑂交于𝐵，𝐶两点.（1）当𝑟=√2时，求𝐵𝐶的长；（2）当𝑟变化时，求𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的最小值；试卷第3页，总4页（3）过点𝑃(6,0)的直线𝑙与圆A切于点𝐷，与圆𝑂分别交于点𝐸，𝐹，若点𝐸是𝐷𝐹的中点，试求直线𝑙的方程.20．已知𝛥𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(0,5),𝐵(1,−2),𝐶(−3,−4)．（1）若𝐷为𝐵𝐶的中点，求线段𝐴𝐷的长．（2）求𝐴𝐵边上的高所在的直线方程．21．直线𝑙过点𝑃(1,4)，且分别交𝑥轴的正半轴和𝑦轴的正半轴于𝐴,𝐵两点，𝑂为坐标原点.①当|𝑂𝐴|+|𝑂𝐵|最小时，求𝑙的方程；②若|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|最小，求𝑙的方程.22．在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点5,1,1,5AB.（1）若A为ABC的直角顶点，且顶点C在y轴上，求BC边所在直线方程；（2）若等腰ABC的底边为BC，且C为直线:23lyx上一点，求点C的坐标.23．求函数𝑦=√𝑥2−8𝑥+20+√𝑥2+1的最小值．24．如图所示的多面体是由底面为𝐴𝐵𝐶𝐷的长方体被截面𝐴𝐸𝐶1𝐹所截面而得到的，其中𝐴𝐵=4,𝐵𝐶=2,𝐶𝐶1=3,𝐵𝐸=1（1）求𝐵𝐹的长；（2）求点𝐶到平面𝐴𝐸𝐶1𝐹的距离.25．如图,在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB=√5.试卷第4页，总4页(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD;(2)求二面角B-AC-E的余弦值.26．已知曲线2:{3xcosCysin（为参数）和曲线22:{3xtlyt（t为参数）相交于两点,AB，求两点,AB的距离.27．已知A（7，8），B（10，4），C（2，-4）三点，求𝛥𝐴𝐵𝐶的面积.答案第1页，总13页参考答案1．C【解析】设点0,0,Mz，则∵1,0,2A，1,3,1B，点M到A、B两点的距离相等，∴22102191zz，∴3z，∴M点坐标为0,0,3．本题选择C选项.2．C【解析】【分析】由题意设z轴上一点的坐标，由空间中两点间的距离公式可表示出两点间的距离，由函数的性质即可求出两点间的最短距离，并求出此时点Q的坐标.【详解】设z轴上任意一点Q的坐标为(0,0,𝑐)，由空间中两点间的距离公式可得：|𝑃𝑄|=√12+22+(3−𝑐)2，当𝑐=3时取得最小值.故选C.【点睛】本题考查空间中两点间的距离，掌握空间内两点间的距离公式，会根据解析式求最值，注意计算的准确性.3．C【解析】【分析】先根据线面平行的性质和中位线定理说明M为EF的中点，再根据中点坐标公式求M的坐标。【详解】设𝐵𝐷∩𝐴𝐶=𝑂，连接EO，因为AM∥平面BDE，所以有𝐸𝑂∥𝐴𝑀，答案第2页，总13页因为M为EF的中点，E（0，0，1），F(√2,√2,1)，根据中点坐标公式得𝑀(√22,√22,1)。答案选C【点睛】本题仅考查了线面平行的性质及空间中点坐标公式，比较简单基础。4．B【解析】分析：由已知中向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,−4),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2,−1),根据两个向量的数量积为0，两个向量垂直，即可判断出𝐴𝑃⊥𝐴𝐵且𝐴𝑃⊥𝐴𝐷，进而根据线面垂直的判定定理即可得到𝐴𝑃⊥平面ABCD.详解：∵𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝐴𝑃⊥𝐴𝐵，𝐴𝑃⊥𝐴𝐷，又∵𝐴𝐵∩𝐴𝐷=𝐴，𝐴𝐵、𝐴𝐷⊂面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝐴𝑃⊥平面ABCD.故选：B.点睛：本题考查的知识点是向量表述线线垂直的关系，其中证得𝐴𝑃⊥𝐴𝐵且𝐴𝑃⊥𝐴𝐷是关键.5．D【解析】设点D为,,xyz，又0,1,2C∴,1,2CDxyz，∵1,1,0AB，2CDAB∴,1,22,2,0xyz即2{12xyz,D点坐标2,1,2故选：D6．B【解析】试题分析：根据线段的中垂线过线段的中点，且与线段垂直，又𝑘𝐴𝐵=3−11+5=13，所以线段的中垂线的斜率为−3，且线段的中点为(−2,2)，根据点斜式可以得出其方程为𝑦−2=−3(𝑥+2)，即3𝑥+𝑦+4=0，故选B．答案第3页，总13页考点：线段的中垂线方程．7．A【解析】由题可知AB的中点坐标为（0,3），又点C（5,2）所以中线的直线方程根据两点式可得：x+5y-15=08．A【解析】空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0)．故选A.9．C【解析】【分析】C为线段AB上一点，且3|𝐴𝐶→|=||𝐴𝐵→|，可得𝐴𝐶→=13𝐴𝐵→，利用向量的坐标运算即可得出．【详解】∵C为线段AB上一点，且3|𝐴𝐶→|=||𝐴𝐵→|，∴𝐴𝐶→=13𝐴𝐵→，∴𝑂𝐶→=𝑂𝐴→+13𝐴𝐵→=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=(103，−1，73)．故选：C．【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．10．【解析】11．1,3【解析】圆22:131Cxy的圆心C为1,3，半径为1r，设圆C上存在点P,ab，由90APB得0PAPB，整理得222220abmmab即答案第4页，总13页实数m表示点P与原点的距离，最小值为|OC|-r=1,最大值为|OC|+r=3，所以实数m的取值范围为1,3故答案为1,312．168【解析】【分析】由题意，设𝑎=𝜆𝑏⃗，得(2,2𝑚−3,𝑛+2)=𝜆(4,2𝑚+1,3𝑛−2)，根据坐标对应相等，列出方程组，求得𝜆,𝑚,𝑛的值，得到向量𝑎,𝑏⃗的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，𝑎//𝑏⃗，设𝑎=𝜆𝑏⃗，又𝑎=(2,2𝑚−3,𝑛+2)，𝑏=(4,2𝑚+1,3𝑛−2)，所以(2,2𝑚−3,𝑛+2)=𝜆(4,2𝑚+1,3𝑛−2)即{2=𝜆×42𝑚−3=𝜆(2𝑚+1)𝑛+2=𝜆(3𝑛−2)，解得{𝜆=12𝑚=72𝑛=6，则𝑎=(2,4,8),𝑏=(4,8,16).故𝑎⋅𝑏=2×4+4×8+8×16=168.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，以及向量的夹角公式的应用，其中熟记向量的坐标表示与向量共线的运算，以及向量的夹角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．13．（0,0,10）或（0,0−2）【解析】【分析】设z轴上任意一点B的坐标，由空间中两点间的距离公式列出方程，即可求得坐标.【详解】设点B的坐标为：(0,0,𝑐)，由两点间距离公式可得：|𝐴𝐵|=√(−2)2+32+(4−𝑐)2=7，答案第5页，总13页解得：𝑐=−2或10，所以B点的坐标为：(0,0,10)或(0,0,−2).【点睛】本题考查空间中两点间的距离以及在坐标轴上点的坐标的特点，由距离公式列式即可求得结果.14．1,2,1【解析】11112,2,0,0,2,0,2,2,2,0,2,2,2,0,2,2,0,2BCBCBCBC设,,2:22:00:2Exyzxyz0:22:00:21,2,1xyzxyz即E的坐标为1,2,115．1【解析】【分析】由两点间的距离公式列出等式，解方程即可求出参数值.【详解】由距离公式：|𝐴𝐵|=√(𝑚−1)2+22+22=2√2，解得：𝑚=1.【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，由公式列式，解方程即可得出结果.16．216a【解析】由112AMMC可知点M为1AC上靠近点A的三等分点，如图所示，以点D