【高二】【数学】【人教B版选修2-1】3.2.2平面的法向量与平面的向量表示

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示第1页共2页【感悟情境】高中数学使用向量来表示直线与平面的方向，其中平面的法向量刻画了平面的方向，而平面的法向量的引入可使问题坐标化、符号化和数量化，降低了解题的思维难度，那么平面的法向量如何解决线面位置关系及面面位置关系呢？我们又如何运用平面的法向量，通过计算来证明它们的位置关系呢？【知识回顾】1.线面垂直的判定定理是：_________________________2．垂直于同一平面的两条直线________．3．若直线l⊥平面α，直线m∥平面α，则l________m.【新知讲授】一、平面的法向量1．平面法向量的定义已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面法向量的性质(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，·n＝0称为一个平面的向量表示式．4．平面法向量的求法法向量是用来解决立体几何中许多问题的一个非常重要的量，因而求出一个平面的法向量是解决问题的关键．找一个平面法向量的方法一般有两种：一是几何法，利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可；二是代数法，即坐标法．用代数法求法向量的步骤为：(1)设法向量n＝(x，y，z)．(2)在已知平面内找两个不共线的向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(3)建立方程组n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0.(4)解方程组：先用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．注意：方程组n·a＝0，n·b＝0有无数多组解，只需给x，y，z中一个变量赋一个特值，即可确定平面的法向量，注意n≠0.【合作探究】1.已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为【知识补充】________．【新知讲授】二、利用法向量判断平行与垂直设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2(如图①)(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0(如图②)．(3)直线与平面平行的法向量的证法：先求平面的法向量，再证直线的方向向量与平面的法向量垂直，并且直线不在平面内．【合作探究】2.根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α，β的法向量分别是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α，β的法向量分别是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．【新知讲授】2．平面的斜线(1)如果一条直线AB和平面α相交于点B，但不和α垂直，那么直线AB叫做这个平面的斜线．斜线和平面的交点B叫做斜足，斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB.(2)平面的斜线在平面内的射影仍是一条直线．如图所示，斜线AB上的点B是斜足，AO⊥α，O为垂足，则直线AB在平面α内的射影就是直数学人教B版选修2-13.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.2平面的法向量与平面的向量表示第2页共2页线OB.3．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．如图所示，AB是平面α的斜线，AO⊥α，BO是AB在α内的射影，l⊂α，若l⊥BO，则l⊥AB；反之，若l⊥AB，则l⊥BO.4．关于三垂线定理的理解(1)三垂线定理叙述的是平面内直线a与平面的斜线b，及斜线b在平面内的投影c三者之间的垂直关系．(2)这里a与b可以相交，可以异面．(3)三垂线定理是判断或证明空间中线线垂直的主要依据，三垂线定理跨越了线面垂直，直接由线线垂直到线线垂直，为解决线线垂直提供了一条捷径．四、平面法向量的应用1．设直线l的方向向量是v＝(a1，b1，c1)，平面α的一个法向量是n＝(a2，b2，c2)，则(1)l⊥α⇔v∥n⇔v＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2.(2)l∥α⇔v⊥n⇔v·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.2．设平面α的法向量是n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量是n2＝(a2，b2，c2)，则(1)α∥β(或α与β重合)⇔n1∥n2⇔n1＝λn2⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2.(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.【合作探究】3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：DB1→是平面ACD1的法向量．【课堂练习】如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SCD与平面SAB的法向量．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求证：AE⊥CD；(2)求证：PD⊥平面ABE.3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________________【课堂小结】平面的法向量平面的法向量理解平面法向量的概念平面法向量的性质平面的向量表示平面法向量的应用掌握面面平行的判定面面垂直的判定三垂线定理掌握正射影的概念三垂线定理三垂线定理的逆定理【课后练习】书105页练习A、B1.2.