您好,欢迎访问三七文档
当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 经营企划 > 实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理的相互证明(30个)一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设na为有上界的单调递增数列.由确界原理,数列na有上确界,令nasupa,下面证明:limnnaa.对任意的0,由上确界的定义,存在数列na中某一项Na,使得:Naa.由于na单调递增,故对任意的nN,有:nNaaa.另一方面,由于a是na的一个上界,故对任意的正整数n都有:naaa.所以任意的nN,有:naaa,即:naa.由极限的定义,limnnaa.同理可证单调递减有下界的数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明:设,nnab是一个闭区间套.令数集nSa.由于任一nb都是数列na的上界,由确界原理,数集S有上确界,设supS.下证属于每个闭区间,1,2,3,nnabn显然,1,2,3,nan,故只需证明对任意正整数n,都有nb.事实上,对任意正整数n,nb都是S的上界,而上确界是最小上界,故必有nb.所以存在实数,使得,1,2,3,nnabn下证唯一性,假设还有另外一点,也满足,1,2,3,nnabn.则0nnban,故有:.唯一性得证.3.确界原理证明有限覆盖定理证明:欲证闭区间,ab的任一开覆盖H都有有限的子覆盖.令|,SxaxHaxb能被中有限个开区间覆盖,显然S有上界.又H覆盖闭区间,ab,所以,存在一个开区间,H,覆盖住了a.取,xa,则,ax显然能被H中有限个开区间覆盖(1个),xS,从而S非空.由确界原理,令supS.先证明b.用反证法,若b,则ab.由H覆盖闭区间,ab,一定存在开区间11,H,覆盖住了.取12,xx,使:11211,xxxS,则1,ax能被H中有限个开区间覆盖,把11,加进去,就得到2,ax也能被H中有限个开区间覆盖,即2xS,这与supS矛盾,故b.最后证明bS.设开区间22,H,覆盖住了b.由bsupS,故存在y使得:2yb且yS.则,ay能被H中有限个开区间覆盖,把22,加进去,就得到,ab也能被H中有限个开区间覆盖.4.确界原理证明聚点定理证明:设S有界无限点集,则由确界原理令infS.若是S的一个聚点,则命题已经成立,下面设不是S的聚点.令|,TxxS中只包含中有限个元素.因为不是S的聚点,所以存在00,使得000;,U只包含S中有限个数,故0T,从而T非空.又S有界,所以S的所有上界就是T的上界,故T有上确界,令supT.下面证明是S的一个聚点.对任意的0,S,故,包含S中无穷多个元素.由上确界的定义,存在,,使得S,故,中只包含S中有限多个元素.从而我们得知,;U中包含了S中无穷多个元素,由聚点的定义,是S的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy收敛准则证明:必要性:若limnnxx,则对任意的0,存在正整数N,对一切nN,有2nxx.于是对一切,mnN,有22mnmnxxxxxx.充分性:现假设nx满足对任意的0,存在N,对一切正整数,nmN,有nmxx.令数集|,nnSxxxxxn中只有有限项小于或,明显数列nx的下界都属于S,并且nx的上界就是S的上界.由确界存在定理,令supS.对条件给定的0和N,S,故,包含nx中无穷多项.由上确界的定义,存在,,使得S,故,中只包含S中有限多个元素.从而我们得知,;,U中包含了S中无穷多个元素,设,1,2,3,knxUk则对任意正整数nN,总存在某个knN,故有:2kknnnnxxxx.从而limnnx.二.单调有界定理6.单调有界定理证明确界定理证明:我们不妨证明非空有上界的数集S必有上确界.设|TrrS为数集的有理数上界.明显T是一个可数集,所以假设:12,,,,nTrrr.令1minniinxr.则得单调递减有下界的数列,由单调有界定理得,令limnnx先证是上界.任取sS,有nnsrx,由极限的保序性,s.其次对于任意的0,取一个有理数,r,它明显不是S的上界,否则limnnxr产生矛盾!故存在sS,使得s,我们证明了是数集S上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若,nnab是一个区间套,则na为单调递增有上界的数列,由单调有界定理,令limnna,并且容易得到1,2,3,nan.同理,单调递减有下界的数列nb也有极限,并按区间套的条件有:limlim0nnnnnnbaba,并且容易得到1,2,3,nbn.所以,1,2,3,nnabn下证唯一性,假设还有另外一点,也满足,1,2,3,nnabn.则0nnban,故有:.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设|,,TrarHrrb可以被的开区间有限开覆盖,且.容易得到T中包含无穷多个元素,并且T是一个可数集,所以假设:12,,,,nTrrr.令1maxniinxr.则得单调递增有上界的数列,由单调有界定理得,令limnnx.先证明b.用反证法,若b,则ab.由H覆盖闭区间,ab,一定存在开区间11,H,覆盖住了.取,ijxry,使:11ijxry,则1,ax能被H中有限个开区间覆盖,把11,加进去,就得到,ay也能被H中有限个开区间覆盖,即yS,这与supS矛盾,故b.最后证明bS.设开区间22,H,覆盖住了b.由bsupS,故存在klxr使得:2klxrb.则,lar能被H中有限个开区间覆盖,把22,加进去,就得到,ab也能被H中有限个开区间覆盖.9.单调有界定理证明聚点定理证明:设S是一有界无限点集,在S中选取一个单调na,下证数列na有聚点.(1)如果在na的任意一项之后,总存在最大的项,设1a后的最大项是1na,1na后的最大项是2na,且显然2121nnaann;一般地,将kna后的最大项记为1kna,则有:11,2,3,kknnaak.这样,就得到了na的一个单调递减子列kna.(2)如果(1)不成立则从某一项开始,任何一项都不是最大的,不妨设从第一项起,每一项都不是最大项.于是,取11naa,因1na不是最大项,所以必存在另一项2121nnaann又因为2na也不是最大项,所以又有:3232nnaann,这样一直做下去,就得到了na的一个单调递增子列kna.综上所述,总可以在S中可以选取一个单调数列kna,利用单调有界定理,kna收敛,极限就是S的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则证明:必要性:若limnnxx,则对任意的0,存在正整数N,对一切nN,有2nxx.于是对一切,mnN,有22mnmnxxxxxx.充分性:现假设nx满足对任意的0,存在N,对一切正整数,nmN,有nmxx.先证明柯西数列是有界的.取01,故存在某个正整数0N,对一切n,有011nNxx,即011nNaa.故nx有界.参考9的做法,可知数列na有一个单调子列kna,由单调有界定理,kna收敛,令limknkx.则对任意正整数nN,总存在某个kknnN,使得knx,故有:2kknnnnxxxx..从而limnnx.三.区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明:仅证明非空有上界的数集S必有上确界取一个闭区间,ab,使得,ab包含S中的元素,并且b为S的上界.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.若2ab为数集S的上界,则取11,,2ababa,否则取11,,2ababb.再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.若112ab为数集S的上界,则取11221,,2ababa,否则取11221,,2ababb.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn并且每个闭区间,nnab都包含S中的元素,并且右端点nb为S的上界.由于对任意sS,有nsb,所有由极限的保序性,limnnsb,从而是数集S的上界.最后,对于任意0,存在n,使得0nnba.由闭区间套的选取,,nnab包含了S中某个元素s,从而有nnsab.故是数集S的上确界.12.区间套定理证明单调有界定理设nx是单调有界数列,不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间,ab,使得,ab包含nx中的项,并且b为nx的上界.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.若2ab为nx的上界,则取11,,2ababa,否则取11,,2ababb.再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.若112ab为nx的上界,则取11221,,2ababa,否则取11221,,2ababb.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn并且每个闭区间,nnab都包含nx中的项,并且右端点nb为nx的上界.下面证明limnnx.对任意的0,存在n,使得0nnba.由闭区间套的选取,,nnab包含了nx中某一项Nx,从而有Nnnxab.由于nx单调递增,故对任意的nN,有:Nnxx.又nnnxba,故有nx,即nx.13.区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间,ab可以被H中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间,ab可以被H有限开覆盖.用反证法,若闭区间,ab不能被H有限开覆盖.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.其中必有一个区间不能被H有限开覆盖,设它为11,ab;再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.其中必有一个区间不能被H有限开覆盖,设它为22,ab.不断进行下去,这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn.显然,ab,考虑H中覆盖的开区间,,取0min,.由于limlimnnnnab,
本文标题:实数完备性基本定理的相互证明
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1835472 .html