计算机图形学第7讲

计算机图形学第7讲主讲：吴壮志联系：[e-mail]北京航空航天大学计算机学院致谢：此PPT为扬州大学信息学院徐永安博士后提供曲线与曲面第7章曲线与曲面曲线曲面的计算机辅助设计源于20世纪60年代的飞机和汽车工业。1963年美国波音公司的Ferguson提出用于飞机设计的参数三次方程；1962年法国雷诺汽车公司的Bézier于提出的以逼近为基础的曲线曲面设计系统UNISURF，此前deCasteljau大约于1959年在法国另一家汽车公司雪铁龙的CAD系统中有同样的设计，但因为保密的原因而没有公布；1964年Coons提出了一类布尔和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均匀B样条曲线曲面，美国锡拉丘兹大学的Versprille研究了有理B样条曲线曲面，20世纪80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人对有理B样条曲线曲面进行了深入的研究，并形成非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline，简称NURBS)；1991年国际标准组织(ISO)正式颁布了产品数据交换的国际标准STEP，NURBS是工业产品几何定义唯一的一种自由型曲线曲面。曲线的表示形式7.1曲线曲面基础r(t2)r(t1)OYXZ图7-1空间曲线平面曲线的直角坐标表示形式为：)(xfy0),(yxF或其参数方程则为：)()(tyytxx)(trr平面上一点的位置可用自原点到该点的矢量表示：上式称为曲线的矢量方程，其坐标分量表示式是曲线的参数方程。三维空间曲线可理解为一个动点的轨迹，位置矢量r随时间t变化的关系就是一条空间曲线。)()()(tzztyytxx))(),(),(()(tztytxtrrr矢量方程为：三维空间曲线的参数方程为：法平面密切平面从切面tnρbP图7-2曲线特性分析用s表示曲线的弧长，以弧长为参数的曲线方程称为自然参数方程。以弧长为参数的曲线，其切矢为单位矢量，记为t(s)。切矢t(s)对弧长s求导，所得导矢dt(s)/ds与切矢相垂直，称为曲率矢量，如图7-2，其单位矢量称为曲线的单位主法矢，记为n(s)，其模长称为曲线的曲率，记为k(s)。曲率的倒数称为曲线的曲率半径，记为与t和n相互垂直的单位矢量称为副法矢，记为b(s)。由t和n张成的平面称为密切平面；由n和b张成的平面称为法平面；由t和b张成的平面称为从切面。)(s曲面的表示形式一般曲面可表示为：),(yxfz0),,(zyxF或),(),(),(vuzzvuyyvuxx)),(),,(),,((),(vuzvuyvuxvurrr其参数表达式为：曲面的矢量方程为：参数u、v的变化区间常取为单位正方形，即u,v∈[0,1]。x，y，z都是u和v二元可微函数。当(u，v)在区间[0，1]之间变化时，与其对应的点(x，y，z)就在空间形成一张曲面。u映射),(vur空间域参数域vrvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)图7-3空间曲面vvurvvurvurvruvurvuurvururvvuu),(),(lim),(),(),(lim),(00r对u和v的一阶偏导数为：一阶偏导数ru(u，v)和rv(u，v)继续对u，v求偏导数，得到四个二阶偏导数ruu、ruv、rvu、rvv：vv22vu2uv2uu22rvrvrvruvrvrurvururvrururu)()()1()(21urururkji)(sin)(cos)(uzuRuRr直纹面旋转面“线动成面”双线性插值曲面11100100)1()1(rvrvrvrvvv1rrrr)u,u1(]rvr)v1[(u]rvr)v1)[(u1()v,u(r1110010011100100Coons曲面是已知曲面片的四条边界曲线，由两张直纹曲面的和减去一张双线性插值曲面得到的：),0(),0()1(),(1vruvruvur)1,()0,()1(),(2urvurvvurvvrrrruuvur1),1(),(11100100vvrrrruuvvururvrvruuvur1)1(1))1,()0,((),1(),0()1(),(11100100),(),(),(),(321vurvurvurvur这种布尔和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合时，整张曲面C0连续，即位置连续。要达到C1连续，必须考虑跨界切矢的插值。Coons曲面（麻省理工学院）双线性插值曲面，采用了“先定义线，然后线动成面”的思想。张量积曲面也是采用“线动成面”的思想，是CAGD中应用最广泛的一类曲面生成方法参数u的分割：及其上的及调配函数参数v的分割：及其上的及调配函数muuu10)(ui01nvvv)(uim0in0jjiij310mn1m0mn11110n00100m10)v()u(a)v()v()v(aaaaaaaaa))u()u()u(()v,u(r定义在uv平面的矩形区域上的这张曲面称为张量积曲面。张量积曲面的特点是将曲面问题化解为简单的曲线问题来处理，适用于拓扑上呈矩形的曲面形状。映射),(vur空间域参数域vu张量积曲面切矢方向与模：方向相同，模不同，G1连续；方向相同，模相同，C1连续；)(1ur)(2vr已知曲线r1(u)的末端和曲线r2(v)的首端相连，其不同阶次连续性的要求如下：位置连续(C0)：曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到位置连续的条件为：r1(1)＝r2(0)斜率连续(C1):曲线段r1(u)的末端与曲线段r2(v)的首端达到斜率连续的条件为：)0()1('2'1rrk若k=1，说明曲线段r1(u1)的末端切矢与曲线段r2(u2)的首端切矢方向相同、模长相等，称为C1连续。若k≠1，则说明两段曲线在公共连接点处切矢方向相同，但模长不相等，这种情况是几何连续的，称为G1连续，也称视觉连续。曲率连续(C2):两曲线段曲率连续应满足：(1)位置连续；(2)斜率连续；(3)曲率相等且主法线方向一致。)1()1()0(112rrr)1()0(12rr对于曲面片，若两个曲面片在公共连接线上处处满足上述各类连续性条件，则两个曲面片之间有同样的结论。G2连续满足条件:几何意义是：曲线段r2(u)首端的二阶导矢应处在由曲线段r1(v)末端的二阶导矢和一阶导矢所张成的平面内。C2连续满足条件:曲线曲面的光滑连接曲线设计基础插值曲线和逼近曲线（InterpolationcurveandApproximationcurve）（拟合曲线FitnessCurve）原始数据点精确原始数据点不精确XYX’Y’由一组基函数及相联系的系数矢量来表示：niii0aP＝采用不同的基函数，曲线的数学表示方法就不同。基函数一旦确定，系数矢量就完全定义了曲线。计算机辅助几何设计(CAGD)中的曲线的一般表示形式规范基表示具有几何不变性。即同样的点在不同坐标系中生成的曲线相同。抛物线方程不具有几何不变性。10nii若称为规范基。n次多项式的全体构成n次多项式空间，在其中任选一组线性无关的多项式都可以作为基。幂基ui，i=0，1，…，n是最简单的多项式基，相应的参数多项式曲线方程为：对于给定的n+1个数据点Pi，i=0,1,2,…,n，欲构造其插值曲线或逼近曲线，必先得到对应于各数据点Pi的参数值ui，ui是一个严格递增的序列△U：u0u1…un采用不同的参数化，得到的曲线也不同。常用的参数化方法：(1)均匀参数化(等距参数化)(2)积累弦长参数化(3)向心参数化(4)修正弦长参数化对给定数据点实行参数化，将参数值ui代入上述方程，使之满足插值条件：iniiuu0)(aP＝ijinjjiuupap0)(，i=0,1,…,n得一组线性方程组：参数多项式曲线解线性方程组，可得唯一解。幂基多项式曲线方程中的系数矢量几何意义不明确，构造曲线时，需解线性方程组，n较大时，不可取。其它多项式插值曲线如Lagrange、Newton、Hermite等较之幂基多项式曲线在计算性能等方面有较大改进，但总体上多项式曲线存在两个问题：l次数增高时，出现多余的拐点；l整体计算，一个数据点的微小改动，可能引起曲线整体大的波动。nnnnnnnnpppaaauuuuuuuuu1010212110200111由于高次多项式曲线存在缺陷，单一低次多项式曲线又难以描述复杂形状的曲线。所以采用低次多项式按分段的方式在一定连续条件下拼接复杂的组合曲线是唯一的选择。低次多项式组合曲线y1(x)=a1+b1x+c1x2+d1x3y2(x)=a2+b2x+c2x2+d2x3y3(x)=a3+b3x+c3x2+d3x3以三次多项式为例：“线动成面”如何选择基函数使系数具有几何意义，且操作方便，易于修改是曲线曲面设计方法的发展方向。3032)()(kkkiiiiixfPxdxcxbaxy三次样条函数（Spline）Schoenberg于1946年提出,国外60年代广泛研究,国内70年代开始。EIxMdxdydxydxR)()/(1/)(12/3222由材料力学可知，R(x)—梁的曲率半径M(x)—作用在梁上的弯矩E—材料的弹性模量I—梁横截面的惯性矩在梁弯曲不大的情况下，y´1,简化为：y´´(x)~M(x)y(x)是x的三次多项式，这就是插值三次样条函数的物理背景。样条曲线的物理背景样条(spline)是富有弹性的细木条或有机玻璃条。早期船舶、汽车、飞机放样时用压铁压在样条上的一系列型值点上，调整压铁达到设计要求后绘制其曲线，称为样条曲线y(x)。7.2三次样条曲线曲面（1）样条是物质连续的，相当于函数C0连续；（2）样条在压铁两侧斜率相同，相当于函数C1连续；（3）样条在压铁两侧曲率相同，相当于函数C2连续；三次样条函数的数学描述在区间[a,b]上给定一个分割：a=x1x2•••xn=b,则称在区间[a,b]上满足下列条件的函数S(x)为三次样条函数：（1）给定一组型值点（xi,yi)(i=1,2,•••,n）,S(x)满足S(xi)＝yi，（2）在每个子区间[xi-1,xi]（i=1,2,•••,n）上为三次多项式;（3）在整个区间[a,b]上具有直到二阶连续的导数，即在内节点xi处，i=2,3,•••,n-1,k=0,1,2则称S(x)为插值三次样条函数；)x(S)x(Si)k(i)k((xi-1,yi-1)(xi,yi)ti-1tiS(x)=ai+bix+cix2+dix3i=1,2,…,nS(xi-1)=yi-1S(xi)=yiS’(xi-1)=ti-1S’(xi)=ti物理样条的性质用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数―m关系式插值三次样条函数有两种常用的表达方式，一种是用型值点处的一阶导数表示的m关系式；一种是用型值点处二阶导数表示的M关系式。本书重点介绍m关系式。给定一组型值点(xi,yi)(i=1,2,•••,n)，mi为(xi,yi)处的斜率。第i段样条函数可表示为：nixdxcxbaxyiiii