高一数学难题解答

（18）（本小题满分9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（Ⅰ）求,mn的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组数据的方差2S甲和2S乙，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．注：x为数据12,,nxxx的平均数，方差2222121nSxxxxxxn（20）（本小题满分12分）对于函数(),(),()fxgxx如果存在实数,ab使得()()()xafxbgx，那么称()x为(),()fxgx的线性组合函数.如对于()1fxx，2()2gxxx，2()2xx，存在2,1ab，使得()2()()xfxgx，此时()x就是(),()fxgx的线性组合函数.（Ⅰ）设222()1,(),()23fxxgxxxxxx，试判断()x是否为(),()fxgx的线性组合函数？并说明理由；（Ⅱ）设212()log,()log,2,1fxxgxxab，线性组合函数为()x，若不等式23()2()0xxm在2,4x上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设91(),()1xfxxgxx≤≤，取,01ab，线性组合函数()x使()xb≥恒成立，求b的取值范围．（可利用函数kyxx（常数0k）在(0,]k上是减函数，在[,)k是增函数）21．设f（x）=mx2+（m+4）x+3．（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=﹣1时，在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，求a的取值范围．【分析】（1）f（x）为二次函数，令△＞0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可．（2）求出f（x）在[0，λ]上的最大值fmax（x），则a＜fmax（x）．【解答】解：（1）∵f（x）有两个零点，∴，解得m≠0．设f（x）的两个零点为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣=﹣+1=16（﹣）2+．∴当m=8时，∴|x1﹣x2|2取得最小值．∴|x1﹣x2|的最小值为．（2）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2+3x+3，f（x）的对称轴为x=．①若0，则fmax（x）=f（λ）=﹣λ2+3λ+3，②若，则fmax（x）=f（）=．∵在[0，λ]（λ为正常数）上存在x使f（x）﹣a＞0成立，∴a＜fmax（x）．综上，当0时，a的取值范围是（﹣∞，﹣λ2+3λ+3）；当时，a的取值范围是（﹣∞，）．【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题．22．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=（a＞0）．（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna，+∞）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可．【解答】解：（1）函数f（x）=（a＞0）是R上的偶函数，f（﹣x）=f（x），即（ex﹣e﹣x）=a（﹣）=a（ex﹣e﹣x）在R恒成立，∴=a，解得：a=1，（a＞0），（2）在[lna，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣a=（﹣）•，∵y=ex是增函数，lna≤x1＜x2，∴﹣＜0，∴x1+x2＞2lna=lna2，∴＞=a2，∴﹣a2＞0，∵a•＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在[lna，+∞）上是增函数，∴f（x）min=f（lna）=+=2，∴函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题．22．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，根据y=f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果．【解答】解：（1）设f（x）=k1x，g（x）=k2，由题意，可得f（1）=0.125=k1，g（1）=k2=0.5，则f（x）=0.125x（x≥0），g（x）=0.5（x≥0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20﹣x）万元，由题意，得y=f（x）+g（20﹣x）=0.125x+0.5（0≤x≤20），令t=，则有x=20﹣t2，∴y=0.125（20﹣t2）+0.5t=﹣0.125（t﹣2）2+3，当t=2，即x=16万元时，收益最大，此时ymax=3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为4万元．【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．21．已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（）∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，∴x1﹣x2＜0，＞0，∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）解：对称轴，定义域x∈[2，5]①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，无解综上所述【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．