初三下-----弧长与扇形的面积

一、弧长的计算在半径是的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长c=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长为1802360RnRnlππ。1.这里的，180在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位；2.在弧长的计算公式中，已知中任意的两个量，都可以求出第三个量；3.应区分弧、弧长、弧的度数这三个概念，度数相等的弧，其弧长不一定相等，弧长相等的弧，也不一定是等弧。二、扇形面积的计算公式：1.在半径是的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角为n°的扇形面积是。2.比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：，其中，为扇形的弧长，为半径。三、圆锥侧面积和全面积1.圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。2.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。3.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高。4.圆锥的基本特征：（1）圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面；（2）圆锥的母线长都相等；（3）圆锥的母线R、圆锥的高h、圆锥底面圆的半径r恰好构成一个直角三角形，满足222Rhr，利用这一关系，可以已知任意两个量求出第三个量。5.圆锥的侧面积和全面积：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长R，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长R2π，因此圆锥的侧面积公式，圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和，即圆锥的全面积公式。例.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=32，∠A=30度．(1)求劣弧的长；(2)若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．分析：（1）要求劣弧的长，只需求出∠AOC的度数即可，根据∠A=30°结合圆周角定理，易得∠AOC=120°，故可求得答案；（2）已知CD与圆交于点C，只需证明OC⊥CD即可．解答：（1）解：延长OP交AC于E，∵P是△OAC的重心，OP=，∴OE=1，（1分）且E是AC的中点．∵OA=OC，∴OE⊥AC．在Rt△OAE中，∵∠A=30°，OE=1，∴OA=2．（2分）∴∠AOE=60度．∴∠AOC=120度．（3分）∴=π；（4分）（2）证明：连接BC．∵E、O分别是线段AC、AB的中点，∴BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC．∴△OBC是等边三角形．（5分）法1：∠OBC=60度．∵∠OBD=120°，∴∠CBD=60°=∠AOE．（6分）∵BD=1=OE，BC=OA，∴△OAE≌△BCD．（7分）∴∠BCD=30度．∵∠OCB=60°，∴∠OCD=90度．（8分）∴CD是⊙O的切线．（9分）弧长及扇形面积1.如图，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥的底面半径；(2)∠BAC的度数；(3)圆锥的侧面积(结果保留π)．2.如图，CD切⊙O于点D，连接OC，交⊙O于点B，过点B作弦，点E为垂足，已知⊙O的半径为10，sin∠COD=．(1)求弦AB的长；(2)CD的长；(3)劣弧AB的长(结果保留三个有效数字，sin53.13°≈0.8，π≈3.142)．3.如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30度．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．4.已知：如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于C且C为OB中点，过C点的弦CD使∠ACD=45°，的长为，求弦AD、AC的长．5.如图，以AB为直径的半圆O上有一点C，过A点作半圆的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：△ADC∽△BDA；(2)过O点作AC的平行线OF分别交BC，于E、F两点，若BC=2，EF=1，求的长．6.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交△ABC的外接圆⊙O于点H，过点H作EF∥BC交AC、AB的延长线于点E、F．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AH=8，DH=2，求CH的长；(3)若∠CAB=60°，在(2)的条件下，求的长．圆锥侧面积1.如图(1)，工人师傅需要在正方形铁皮上剪下一个半径为80cm的扇形和一个半径为r的圆形，使之恰好围成图(2)所示的一个圆锥，圆锥的表面积是多少？(用π表示)2.如图，已知在⊙O中，AB=4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．(1)求⊙O的半径；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥底面圆的半径．