图形的变换一对一辅导讲义

中小学个性化教育辅导专家1一对一个性化辅导讲义学科：数学任课教师：张老师授课时间：2014年6月11日(星期三)姓名年级九性别学习内容图形的变换上课次数学习目标1、探索并理解图形平移与旋转的基本性质。2、掌握轴反射、中心对称意义与性质。3、探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质，能够按要求作出简单平面图形经一次或两次轴反射后的图形。4、了解平行四边形、圆是中心对称图形，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。5、能够按要求探索图形之间的变换关系，灵活运用平移、和旋转的组合进行图案设计。难点重点重点：轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质。难点：图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题。一中考知识清单：知识结构图：（1）图形平移的基本要素及特点是什么？在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定单位距离，这样的图形运动称为平移．要素1：沿某一个方向移动；要素2：移动一定的单位距离．平移的特点：平移不改变图形的形状和大小．（2）图形平移的作图中应注意什么问题？因为图形经过平移后，对应点所连的线段平行，（或在同一条线上）且相等；对中小学个性化教育辅导专家2应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等．如图所示，对应点所连的线段AD∥BE∥CF，且AD=BE=CF，BC∥EF，BC=EF．AC∥DF，AC=DF；对应角的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠GAB=∠FDE．所以在图形平移的作图中要注意以下几点：①首先确定图形中的关键点；②将这些关键点沿指定的方向移动指定的单位距离；③然后连接对应的部分形成相应的图形．（3）图形旋转的基本要素及特点是什么？在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角．要素1：绕一个定点（旋转中心）要素2：沿某个方向向旋转一定的角度．图形旋转的特点：旋转不改变图形的形状和大小．（4）图形旋转的作图中应注意什么问题？因为图形经过旋转后，对应点旋转的角度都相等，方向都相同，对应点到旋转中心的距离相等，且对应线段、对应角相等．如图所示，旋转中心与对应点所连的线段的关系是OA=OD，OB=OE，OC=OF；对应线段的关系是AB=DE，BC=EF，CA=FD；对应角的关系是∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，∠CAB=∠FDE所以在图形旋转的作图中要注意以下几个问题：①首先确定旋转中心；②其次确定图形的关键点；③将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度；④然后连接对应的部分，形成相应的图形．（5）中心对称图形的基本要素是什么？他有什么特点？中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形．在平面内，将一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，则这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心．中小学个性化教育辅导专家3要素1：绕一个定点（对称中心）要素2：旋转180°后与自身重合．中心对称图形的特点：图形绕着它自身的中心旋转180°后能与自身重合．（6）图形中心对称的作图中应注意什么问题？因为在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．如图所示，AO=OA′，BO=OB′．CO=OC′，A、O、A′三点在同一直线上，B、O、B′三点在同一直线上，C、O、C′三点在一条直线上．反过来，如果两个图形的对称点连线的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称．所以在图形中心对称的作图中要注意以下几点：①首先确定图形的对称中心；②其次确定图形的关键点；③作这些关键点关于对称中心的对称点；④最后连接对应的部分，形成相应的图形．（7）轴对称图形及图形的轴对称之间有哪些区别？如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．把一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线就是对称轴．两图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．两者的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系．两者的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．（8）轴对称的性质是什么？①关于某直线对称的两个图形是全等的．②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线．中小学个性化教育辅导专家4③两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．另外如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形．二.考点探视：图形与变换知识在初中数学学业考试中主要考查图形平移、旋转和对称的意义。旋转图形的识图和图形的操作与解答以及利用特性解题。考题的类型主要以选择题、填空题和操作图题为主。三。典例分析例1如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的大小等于____________度．例2如图1-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1)求证：BP=DP；(2)如图1-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.例3.如图，在直角坐标系中，已知点)0,3(A，)4,0(B，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三图1-2图1-1中小学个性化教育辅导专家5ADCBPMQ60°角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为．例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．例4.如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC∥，，，点M是AD的中点，MBC△是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ∠保持不变．设PCxMQy，，求y与x的函数关系式；（3）在（2）中：P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个①当动点点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；y取最小值时，判断PQC△的形状，并说明理由．②当中小学个性化教育辅导专家6B1AOBA1例5.如图，在RtOAB中，90OAB，6OAAB，将OAB绕点O沿逆时针方向旋转90得到11OAB．（1）线段1OA的长是，1AOB的度数是；（2）连结1AA，求证：四边形11OAAB是平行四边形；（3）求四边形11OAAB的面积．例6如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．中小学个性化教育辅导专家7yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；(3)如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．四、目标检测1.如图，将沿折叠，使点与边的中点重合，下列结论中：①且；②；③；④，正确的个数是（）中小学个性化教育辅导专家8A．1B．2C．3D．42.把正方形ABCD沿着对角线AC的方向平移到正方形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=2，则正方形平移的距离AA′是（）.A.1B.21C.12D.123.如图13,已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、G,且EG:GH:HF=1:2:1,那么AD:BC等于()A.2:3B.3:5C.1:3D.1:24.同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）A.顺时针旋转60°得到B.顺时针旋转120°得到C.逆时针旋转60°得到D.逆时针旋转120°得到5.如图，若将△ABC绕点C,顺时针旋转90°后得到CBA，则A点的对应点A的坐标是.6.如图，镜子中号码的实际号码是_________.7．如图所示，将直角△ABC绕点C逆时针旋转900至A1B1C1的HGBAFEDC第5题图第6题图第7题图第4题中小学个性化教育辅导专家9位置，已知AB=10，BC=6，M是A1B1的中点，则AM=8.将点A（34，0）绕着原点顺时针方向旋转60°得到点B，则点B的坐标是．8.如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.560B.680C.1240D.18009、如图，已知ACB△与DFE△是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点BCFD、、、在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的ACB△绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为cm（保留根号）．10如图9，ABC△的顶点坐标分别为(36)(13)AB，，，，(42)C，．若将ABC△绕C点顺时针旋转90，得到ABC△，则点A的对应点A的坐标为．11、如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1Ð与2Ð的和总是保持不变，那么1Ð与2Ð的和是_______度．1234567891234567OABCyx图9340B1CBAC1C(F)D图（2）21中小学个性化教育辅导专家10BACAB12、如图，三角板ABC中，90ACB，30B，6BC．三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点'A落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为．13、将ABC△绕点B逆时针旋转到ABC△使ABC、、在同一直线上，若90BCA°，304cmBACAB°，，则图中阴影部分面积为cm2．14、30°ACBCA30°（12题）中小学个性化教育辅导专家11在ABC△中，2120ABBCABC，°，将ABC△绕点B顺时针旋转角(0°90)°得ABCAB111△，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于DF、两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当30°时，试判断四边形1BCDA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．15.已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱