三角形、正方形中考题

第1页（共139页）三角形、正方形评卷人得分一．解答题（共50小题）1．已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；（3）若D点在BC边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．2．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别是AC、BC上的两点，AD=CE，且AE与BD交于点P，BF⊥AE于点F．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）若BP=6，求PF的长．3．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△第2页（共139页）ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA匀速移动，当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动，DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．4．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．5．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．易证：△AEF是等边三角形（不需要证明）．【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC第3页（共139页）上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．求证：△AEF是等边三角形．【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．6．如图1，在Rt△ABC中，AC=BC=6，∠ACB=90°，点D，E分别是AC，AB的中点，点F为射线DE上一动点，连结CF，作FG⊥CF交射线AB于点G．（1）当点F在线段DE上时，判断FC与FG的大小关系并证明；（2）如图2，当点F在DE延长线上时，AB与CF交于点H，若FB平分∠CFG，求HG的长；（3）设DF=x，是否存在这样的x，使△BFG为等腰三角形？若存在，求出所有x的值；若不存在，说明理由．7．中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．第4页（共139页）8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．9．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．10．如图（1），Rt△AOB中，，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；第5页（共139页）（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF=BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG=3，BG=6，求AC的长．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为线段BC中点，∠EDF=∠ABC，AE=CD．（1）如图（1），EF交AD于点G，∠ABC=60°，求∠ADF的度数；（2）如图（2），EF交AD于点G，G为AD中点，2∠FDC=∠ABC，求证：AE=2EG；（3）如图（3），若∠ABC=45°，请直接写出线段AE、EF之间的数量关系．第6页（共139页）13．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．14．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2，求AB，BD的长；（2）如图1，求证：HF=EF；（3）如图2，连接CF，CE．猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，说明理由．第7页（共139页）15．如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．（1）当PB=PC时，求tan∠APB的值；（2）当P是上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．16．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．第8页（共139页）17．操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．18．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．19．（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐第9页（共139页）标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．20．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．21．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．第10页（共139页）22．如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．（1）求证：①∠1=∠2；②EC⊥MC．（2）试问当∠1等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．23．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）24．正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．第11页（共139页）（1）若α=0°，则DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由．25．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．（1）求证：点F是C