平截面假设和弹性力学精确解对比

关于材料力学平截面假设和弹性力学精确解的比较一、实验目的：1.通过弹性力学逆解法求出简单悬臂梁截面实际的位移的表达式和材料力学中利用横截面假设计算的截面点进行比较；2.作出两种方法求得截面实际图形并比较；3.算出两种方法中的误差，验证平截面假设的合理性；二、实验步骤：1.确定梁的尺寸L，h，b；纵向施加的点载荷P的大小；确定材料属性，几何属性并说明所取值对计算的合理性；2.逆解法推倒所得的横截面位移表达式以及推倒方法；3.取x方向的五个截面并用材料力学的方法和弹性力学逆解法得到的公式分别得到5个截面的纵向图形，并利用有限元软件验证弹性力学解和截面纵向图形的正确性；4.以上图形取21个点分析，并相对误差，得出材料力学平截面假设的合理性分析。三、实验借助分析工具：1.MicrosoftExcel；2.AutoCad2007；3.MSC/Marc.四、实验：1.模型（下图）：用AutoCad2006建立模型的平面图：该图形为平面应力状态下的悬臂梁，在悬臂梁上建立笛卡尔坐标系，以图中梁的右端中点作为坐标原点。2.参数确定：为了保证梁的截面在载荷P作用下有比较明显的弯曲变形，应该尽可能取大的载荷P，长度L值；使厚度和高度尽可能小。然而，为了保证梁受力弯曲后不至于发生塑性变形，应控制P值使梁的最大弯曲应力小于材料的屈服应力。2.1材料参数确定：取该梁材料为Q460钢，弹性模量E=200Gpa；泊松比近似取0.3；理论屈服强度为460Mpa2.2几何参数确定：如上图，长度L=200m；高度c=10m；z向厚度取为1m；2.3利用Von.Mises屈服准则估算梁在纯弯曲状态下是否最大允许的载荷：仅受到弯曲应力时，等效应力故由：得PMAX=76666666Pa，此处取P=60000000Pa分析。2.4弹性力学逆解法：利用位移分量求解得到横截面位移u，v关于x，y的函数：在y方向上我选取20个点分析，发现u是关于y的奇函数，v是关于y的偶函数，因此，在此只分析中性面以下（y轴正向）的11个点作比较分析（包括梁的中性面和截面的交点y=0）。注：点的标号设定：中性面点设为0，中性面往下依次设定为1，2，……，10；分别对应y=0；y=1；y=2；……；y=10.3.分析过程：(注：u方向对应x坐标方向；v方向对应y坐标方向)3.1选取x方向的5个截面分析：x=0；x=c；x=2c；x=0.5l；x=l-c。利用Excel处理五个截面的数据，得到各截面的u，v向位移：3.2位移计算结果：s弯曲2)()()(21213232221IzLyyPIMZMAXMAX弯曲y226y6y222332）（CGIPEIPlGIPEIPEIyPxuEIPlEIPlEIPEIyPxv32x6x23232弹性力学表达式可见，u是关于y的奇函数，v是关于y的偶函数；故此处先取y0的10个节点（点号1-10）分析，通过Excel软件计算得出下表：（a）u方向的位移：表3-1（b）v方向位移：表3-2截面点号x=0x=10x=20x=200x=18000.000000E+000.000000E+000.000000E+000.000000E+000.000000E+001-8.977635E-03-8.887635E-03-8.617635E-03-6.727635E-03-1.687635E-032-1.795541E-02-1.777541E-02-1.723541E-02-1.345541E-02-3.375410E-033-2.693346E-02-2.666346E-02-2.585346E-02-2.018346E-02-5.063464E-034-3.591194E-02-3.555194E-02-3.447194E-02-2.691194E-02-6.751936E-035-4.489097E-02-4.444097E-02-4.309097E-02-3.364097E-02-8.440966E-036-5.387069E-02-5.333069E-02-5.171069E-02-4.037069E-02-1.013069E-027-6.285126E-02-6.222126E-02-6.033126E-02-4.710126E-02-1.182126E-028-7.183280E-02-7.111280E-02-6.895280E-02-5.383280E-02-1.351280E-029-8.081545E-02-8.000545E-02-7.757545E-02-6.056545E-02-1.520545E-0210-8.979937E-02-8.889937E-02-8.619937E-02-6.729937E-02-1.689937E-02截面点号x=0x=10x=20x=100x=1801-1.200000E+00-1.020600E+00-8.448000E-01-3.750000E-01-1.740000E-022-1.200000E+00-1.020601E+00-8.448027E-01-3.750068E-01-1.741215E-023-1.200000E+00-1.020605E+00-8.448108E-01-3.750270E-01-1.744860E-024-1.200000E+00-1.020612E+00-8.448243E-01-3.750608E-01-1.750935E-025-1.200000E+00-1.020622E+00-8.448432E-01-3.751080E-01-1.759440E-026-1.200000E+00-1.020634E+00-8.448675E-01-3.751688E-01-1.770375E-027-1.200000E+00-1.020649E+00-8.448972E-01-3.752430E-01-1.783740E-028-1.200000E+00-1.020666E+00-8.449323E-01-3.753308E-01-1.799535E-029-1.200000E+00-1.020686E+00-8.449728E-01-3.754320E-01-1.817760E-0210-1.200000E+00-1.020709E+00-8.450187E-01-3.755468E-01-1.838415E-0211-1.200000E+00-1.020735E+00-8.450700E-01-3.756750E-01-1.861500E-023.3通过材料力学的平截面假设分析u、v方向变形（同样根据所建坐标系只考虑y0部分）：3.1.1平截面假设：梁变形后额横截面仍然保持平面且与变形后的梁轴线正交；3.1.2计算公式：（a）v向实际为梁各个截面的挠度值，这里可以用：计算得到；值得注意的是，上式计算所得挠度值得为负数，但目前坐标系设定为y在挠度增加的方向为正，计算个各截面v方向变形后坐标应该对挠度作适当的正负号处理。)43(6)(2xlEIxLPfy（b）u向通过平截面假设作近似处理：首先在目前坐标系下应用转角的表达式：表3-3得到u方向的变形（下表）：截面点号x=0x=10x=20x=100x=18000.000000E+000.000000E+000.000000E+000.000000E+000.000000E+0019.000239E-038.122675E-037.290125E-032.250003E-039.000000E-0521.800048E-021.624535E-021.458025E-024.500006E-031.800000E-0432.700072E-022.436802E-022.187038E-026.750008E-032.700000E-0443.600096E-023.249070E-022.916050E-029.000011E-033.600000E-0454.500120E-024.061337E-023.645063E-021.125001E-024.500000E-0465.400143E-024.873605E-024.374075E-021.350002E-025.400000E-0476.300167E-025.685872E-025.103088E-021.575002E-026.300000E-0487.200191E-026.498140E-025.832100E-021.800002E-027.200000E-0498.100215E-027.310407E-026.561113E-022.025003E-028.100000E-04109.000239E-028.122675E-027.290125E-022.250003E-029.000000E-043.5应用有限元软件MSC./Marc建模验证以上计算的正确性：由上面缩确定的该梁的几何性质可按照平面应力状态对该梁作近似分析得到以下两图。图中梁发生向下的微小弯曲变形，验证了EIxLPy2)(2yyfu上面2.1-2.3中所取参数的可行性。图3.1图3.2（i）图3.1左边的标尺表明梁在x方向最大的变形为-0.0089m（和Excel图表中计算值-0.0087相近），发生在梁的最右下端的附近点；标尺上数量级和Excel图标中计算值一致；(ii)图3.2左边的标尺表明梁在y方向最大的变形为-1.205m（和Excel图标中计算值-1.200相近），发生在梁的最右方截面；标尺上数量级和计算值一致4.弹性力学方法和材料力学方法在梁变形后的对比分析：4.1按材料力学方法计算得在五个梁的截面y方向上不同点的坐标值：表4-1按表3-3中位移和各项原坐标叠加的结果：X截面Y方向坐标u1v1u2v2u3v3u4v4u5v5-10-8.975437E-02-8.8000009.911146E+00-8.9792651.991385E+01-9.1549309.993275E+01-9.6243251.799831E+02-9.981385-9-8.078265E-02-7.8000009.920027E+00-7.9792911.992246E+01-8.1549819.993947E+01-8.6244531.799848E+02-8.981616-8-7.180976E-02-6.8000009.928910E+00-6.9793141.993107E+01-7.1550279.994619E+01-7.6245681.799865E+02-7.981822-7-6.283582E-02-5.8000009.937794E+00-5.9793341.993968E+01-6.1550689.995291E+01-6.6246691.799882E+02-6.982005-6-5.386097E-02-4.8000009.946679E+00-4.9793511.994830E+01-5.1551039.995964E+01-5.6247571.799899E+02-5.982163-5-4.488534E-02-3.8000009.955565E+00-3.9793661.995691E+01-4.1551339.996636E+01-4.6248311.799916E+02-4.982296-4-3.590906E-02-2.8000009.964451E+00-2.9793781.996553E+01-3.1551579.997309E+01-3.6248921.799933E+02-3.982406-3-2.693225E-02-1.8000009.973338E+00-1.9793881.997415E+01-2.1551769.997982E+01-2.62