2008考研数学一真题及答案解析

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第1页2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数学（一）一．选择题(1～8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数20()ln(2)xfxtdt，则()fx的零点个数为（B）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）函数(,)arctanxfxyy在点（0，1）处的梯度等于（A）（A）i（B）i（C）j（D）j（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意常数）为通解的是（D）（A）044yyyy.（B）044yyyy（C）044yyyy.（D）044yyyy（4）设函数()fx在(,)内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是（B）（A）若{}nx收敛，则{()}nfx收敛.(B)若{}nx单调，则{()}nfx收敛.(C)若{()}nfx收敛，则{}nx收敛.(D)若{()}nfx单调，则{}nx收敛.（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若03A，则（C）（A）EA不可逆，EA不可逆.（B）EA不可逆，EA可逆.（C）EA可逆，EA可逆.（D）EA可逆，EA不可逆（6）设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1xxyzAyz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为（B）（A）0（B）1（C）2（D）3（7）随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X,Y}分布函数为（A）（A）)(2xF；（B）)()(yFxF；（C）2)](1[1xF；（D）)](1)][(1[yFxF（8）随机变量~(0,1),~(1,4)XNYN，且相关系数1XY，则（D）（A）{21}1PYX（B）{21}1PYX（C）{21}1PYX（D）{21}1PYX郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第2页二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9)微分方程'0xyy满足条件(1)1y的解是yx/1(10)曲线sin()ln()xyyxx在点（0，1）处的切线方程是1xy.(11)已知幂级数0(2)nnnax在0x处收敛，在4x处发散，则幂级数0(3)nnnax的收敛域为5,1(12)设曲面是224zxy的上侧，则dxdyxxdzdxxydydz2=4(13)设A为2阶矩阵，21,为线性无关的2维列向量，12120,2AaAaaa则A的非零特征值为__1___(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2EXXP=e21三、解答题(15～23小题，共94分.)(15)（本题满分9分）求极限40[sinsin(sin)]sinlimxxxxx解：3040sinsinsinlimsinsinsinsinlimxxxxxxxxx……2分＝20203sincos1lim3cossincoscoslimxxxxxxxx……6分613sinlim22210xxx……9分(16)（本题满分9分）计算曲线积分2sin22(1)Lxdxxydy，其中L是曲线sinyx上从点（0，0）到点(,0)的一段.解法1：022cossin122sin122sindxxxxxydyxxdxLdxxx022sin……4分0022cos2cos2xdxxxx……6分22sin212sin222002xdxxx……9分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第3页解法2：取1L为x轴上从点0,到点0,0的一段，D是由L与1L围成的区域11)1(22sin)1(22sin122sin222LLLLydyxxdxydyxxdxydyxxdx……2分02sin4xdxxydxdyD……5分0020sin00)2cos1(sin22cos214dxxxxdxxxxydydxx22sin212sin2220002xdxxxx……9分(17)（本题满分11分）已知曲线22220:35xyzCxyz，求C上距离xOy面最远的点和最近的点.解：点),,(zyx到xOy面的距离为z，故求C上距离xOy面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2zH在条件02222zyx与53zyx下的最大值点和最小值点.……3分令)53()2(),,,,(2222zyxzyxzzyxL……5分由530203420202222'''zyxzyxzzLyLxLzyx……7分得yx，从而53202222zxzx，解得555zyx或111zyx……10分根据几何意义，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(和)1,1,1(……11分(18)（本题满分10分）设()fx是连续函数，(I)利用定义证明函数xdttfxF0)()(可导，且()()Fxfx；(II)当()fx是以2为周期的周期函数时，证明函数200)()(2)(dttfxdttfxGx也是以2为周期的周期函数.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第4页(I)证：对任意的x，由于()fx是连续函数，所以xdttfxdttfdttfxxFxxFxxxxxxxxx)(lim)()(lim)()(lim00000……2分)(lim)(lim00fxxfxx（其中介于x与xx之间）由)()(lim0xffx，可知函数)(xF在x处可导，且)()('xfxF……5分(II)证法1：要证明)(xG以2为周期，即要证明对任意的x，都有)()2(xGxG，记)()2()(xGxGxH，则2220000()2()(2)()2()()xxHxftdtxftdtftdtxftdt0)()(2)()2(22020dttfxfdttfxf……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020dttfdttfGGH所以0)(xH，即)()2(xGxG……10分证法2：由于()fx是以2为周期的连续函数，所以对任意的x，有200020)()(2)()2()(2)()2(xxxdttfxdttfdttfxdttfxGxGxxxxdttfduufdttfdttfdttfdttf002002022)()2(2)()()()(2……8分0)()2(20xdttftf即)(xG是以2为周期的周期函数.……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(xxf，)0(x展开成余弦级数，并求级数121(1)nnn的和.解：由于0220322)1(2dxxa……2分,2,1,)1(4cos)1(21202nnnxdxxann……5分所以nxnnxaaxfnnnncos)1(431cos2)(121210，x0，……7分令0x，有1212)1(431)0(nnnf，又1)0(f，所以12)1(2121nnn……11分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第5页(20)（本题满分10分）设,为3维列向量，矩阵,TTA其中T，T为，的转置.证明：(I)秩()2rA；(II)若,线性相关，则秩()2.rA证：(I)()()TTrAr()()TTrr……3分2)()(rr……6分(II)由于,线性相关，不妨设k，于是21)())1(()()(2rkrrArTTT……10分(21)（本题满分12分）设n元线性方程bAx，其中A2222212121212nnaaaaaaaaa,12nxxxx，100b(I)证明行列式nanA)1(；(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求1x；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I)证法1：记nDA2222212121212naaaaaaaaa当1n时，aD21，结论成立，当2n时，2223212aaaaD，结论成立……2分假设结论对小于n的情况成立，将nD按第1行展开得2122nnnDaDaDnnnananaana)1()1(2221，即nanA)1(……6分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第6页证法2：2222122222121321012211212212122nnaaaaaaaaaAraraaaaaaaa……2分3222221301240123321212naaararaaaaaa……4分nnnnanannannaaaarnnr)1(10110134012301211……6分(Ⅱ)解：当0a时，方程组系数行列式0nD，故方程组有唯一解.由克莱姆法则，将nD第1列换成b，得行列式为22112222111210212121212122nnnnaaaaaaDnaaaaaaaaa所以，annDDxnn)1(11……9分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2008年数学试题参考答案和评分参考2008年•第7页(Ⅲ)解：当0a时，方程组为12101101001000nnxxxx此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为01001000TTxk,其中k为任意常数……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为1{}(1,0,1)3PXii，Y的概率密度为101()0Yyfy，其它记YXZ(I)求1{0}2PZX；(II)求Z的概率密度)(zfz.解：(I)021021XYXPXZP2121YP……4分(II)zYXPzZPzFZ)(1,0,1,XzYXPXzYXPXzYXP1,10,1,1XzYPXzYPXzYP11011XPzYPXPzYPXPzYP1131zYPzYPzYP)1()()1(31zFzFzFYYY……7分13()()(1)()(1)ZZYYYfzFzfzfzfz……9分其他,021,31z……11分(2