数值分析上机实验——数值积分

实验报告课程名称数值分析实验项目名称数值积分实验类型上机实验学时2班级20111131学号2011113130姓名张振指导教师沈艳实验室名称理学楼407实验时间2013.11.18实验成绩预习部分实验过程表现实验报告部分总成绩教师签字日期哈尔滨工程大学教务处制实验三数值积分一．数值积分的基本思想1.复合梯形公式：Tn=)()([2bfafh211)](nkxkf；2.复合辛普森公式：Sn=6h[f(a)+f(b)+211)](nkxkf+410)2/1(nkxf]；以上两种算法都是将a-b之间分成多个小区间（n）,则h=(b-a)/n,xk=a+kh,xk+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。3.龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式（1）Sn=34T2n-31Tn（2）Cn=1516S2n-151Sn（3）Rn=6364C2n-631Cn4T)(km=144mmT)1(1km-141mT)(1km，k=1，2，…二.实验题目及实验目的(第4章计算实习题第1题)用不同数值方法计算积分xdxxln10=-94。（1）取不同的步长h。分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。（3）用自适应辛普森积分，使其精度达到104。三．实验手段：指操作环境和平台:win7系统下MATLABR2009a程序语言：一种类似C语言的程序语言，但比C语言要宽松得多，非常方便。四.程序①复合梯形求积程序functiont=TiXing_quad(a,b,.h)formatlongx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);y(1)=0;t=0;fork=1:(b-a)/h,t=t+y(k)+y(k+1);endt=t*h/2;②复合辛普森求积程序functions=Simpson_quad(a,b,h)formatlongx=a:h:b;y=sqrt(x).*log(x);z=sqrt(x+h/2).*log(x+h/2);y(1)=0;s=0;fork=1:(b-a)/h,s=s+y(k)+y(k+1)+4*z(k);ends=s*h./6;③龙贝格求积程序function[q,R]=Romberg(a,b,eps)h=b-a;R(1,1)=h*(0+sqrt(b).*log(b))/2;M=1;J=0;err=1;whileerrepsJ=J+1;h=h/2;S=0;forp=1:Mx=a+h*(2*p-1);S=S+sqrt(x).*log(x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*S;M=2*M;fork=1:JR(J+1,k+1)=R(J+1,k)+(R(J+1,k)-R(J,k))/(4^k-1);enderr=abs(R(J+1,J)-R(J+1,J+1));endq=R(J+1,J+1);控制台输入代码：（1）a=0;b=1;h=0.1;t=TiXing_quad(a,b,h)s=Simpson_quad(a,b,h)h=0.01;t=TiXing_quad(a,b,h)s=Simpson_quad(a,b,h)h=0.001;t=TiXing_quad(a,b,h)s=Simpson_quad(a,b,h)（2）a=0;b=1;eps=10^-8;[quad,R]=Romberg(a,b,eps)（3）a=0;b=1;eps=10^-4;q=ZiShiYingSimpson('sqrt(x).*log(x)',a,b,eps)五．实验结果比较与分析（1）h=0.1时h=0.01时h=0.001时由结果（1）可知对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。又两个相应的关于h的误差（余项）Rn(f)=-12abh2f’’(η)；Rn(f)=-180ab(h/2)4f(4)(η),其中η属于a到b。可知h愈小，余项愈小，从而积分精度越高。（2）（注：看不清的话附有图片文件，可放大）求的积分q=-0.444291362290625（3）求得积分q=-0.434745027462563六.学习心得对于同一步长h，复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即h越小时，积分精度越高。但用龙贝格算法会比它们更加快速地逼近精确值，大大地提高计算速度和精度。