2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟(期末)理数试卷(带解析)

试卷第1页，总5页绝密★启用前2017届重庆市高三上学期第一次诊断模拟（期末）理数试卷（带解析）考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．已知𝑎+2𝑖𝑖=𝑏+𝑖（𝑎,𝑏是实数），其中𝑖是虚数单位，则𝑎𝑏=（）A.-2B.-1C.1D.32．已知某品种的幼苗每株成活率为𝑝，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为（）A.𝑝2B.𝑝2(1−𝑝)C.𝐶32𝑝2D.𝐶32𝑝2(1−𝑝)3．已知集合𝐴={1,2,3,4},𝐵={𝑥|𝑦=2𝑥,𝑦∈𝐴}则𝐴∩𝐵=（）A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4}4．命题𝑝:甲的数学成绩不低于100分，命题𝑞:乙的数学成绩低于100分，则𝑝∨(¬𝑞)表示（）A.甲、乙两人数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C.甲、乙两人数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分5．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，不等式组{(𝑥−𝑦−1)(𝑥+𝑦−1)≥0−1≤𝑥≤3表示的平面区域的面积为（）A.4B.8C.12D.166．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A.104人B.108人C.112人D.120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为（）试卷第2页，总5页A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,3,9}8．设曲线𝑥=√2𝑦−𝑦2上的点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离的最大值为𝑎，最小值为𝑏，则𝑎−𝑏的值为（）A.√22B.√2C.√22+1D.29．函数𝑦=sin𝑥−1𝑥的图象大致是（）A.B.C.D.10．已知𝛥𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为2，𝐷为该圆上的一点，且𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗，则𝛥𝐴𝐵𝐶的面积的最大值为（）A.3B.4C.3√3D.4√311．设定义在𝑅上的函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(2−𝑥)=𝑓(𝑥),𝑓′(𝑥)𝑥−10，若𝑥1+𝑥22,𝑥1𝑥2，则（）A.𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)B.𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)C.𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)D.𝑓(𝑥1)与𝑓(𝑥2)的大小不能确定12．设𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅且𝑐≠0，𝑥1.53567891427lg𝑥2𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎−𝑐+1𝑏+𝑐𝑎+2𝑏+𝑐3(𝑐−𝑎)2(𝑎+𝑏)𝑏−𝑎3(𝑎+𝑏)试卷第3页，总5页若上表中的对数值恰有两个是错误的，则𝑎的值为（）A.lg221B.12lg314C.12lg37D.lg67试卷第4页，总5页第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．二项式(𝑥√𝑥−1𝑥)5的展开式中常数项为__________．（用数字做答）14．已知tan𝛼=2，则sin𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼2sin𝛼+cos𝛼=__________．15．已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且满足：𝑎1=1,𝑎2=2,𝑆𝑛+1=𝑎𝑛+2−𝑎𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，若不等式𝜆𝑆𝑛𝑎𝑛恒成立，则实数𝜆的取值范围是__________．16．已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0,𝑏0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2，𝑃为双曲线𝐶上一点，𝑄为双曲线𝐶渐近线上一点，𝑃、𝑄均位于第一象限，且𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则双曲线𝐶的离心率为__________．评卷人得分三、解答题17．已知向量𝑎=(sin𝑥,cos𝑥)，𝑏=(cos(𝑥+𝜋6)+sin𝑥,cos𝑥)，函数𝑓(𝑥)=𝑎·𝑏．（1）求𝑓(𝑥)的单调递增区间；（2）若𝛼∈(0,𝜋2)且cos(𝛼+𝜋12)=13，求𝑓(𝛼)．18．心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）立体几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记抽取的两人中答对的人数为𝑋，求𝑋的分布列及数学期望．附表及公式：𝑃(𝐾2≥𝑘)0.150.100.050.0250.0100.0050.001𝑘2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828试卷第5页，总5页𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)19．已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1=2,𝑎𝑛+1={12𝑎𝑛,𝑛为偶数𝑎𝑛+1,𝑛为奇数，若𝑏𝑛=𝑎2𝑛−1−1．（1）求证：数列{𝑏𝑛}是等比数列；（2）若数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求𝑆2𝑛．20．过椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的右焦点𝐹(𝑐,0)作𝑥轴的垂线，与椭圆𝐶在第一象限内交于点𝐴，过𝐴作直线𝑥=𝑎2𝑐的垂线，垂足为𝐵，|𝐴𝐹|=√33,|𝐴𝐵|=√22．（1）求椭圆𝐶的方程；（2）设𝑃为圆𝐸:𝑥2+𝑦2=4上任意一点，过点𝑃作椭圆𝐶的两条切线𝑙1、𝑙2，设𝑙1、𝑙2分别交圆𝐸于点𝑀、𝑁，证明：𝑀𝑁为圆𝐸的直径．21．已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥+𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)有两个不同的零点𝑥1,𝑥2．（1）求𝑓(𝑥)的最值；（2）证明：𝑥1·𝑥21𝑎222．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙:{𝑥=𝑡𝑦=√5+2𝑡（𝑡为参数），以原点𝑂为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌2cos2𝜃+4=0．（1）写出曲线𝐶的直角坐标方程；（2）已知点𝐴(0,√5)，直线𝑙与曲线𝐶相交于点𝑀、𝑁，求1|𝐴𝑀|+1|𝐴𝑁|的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|+|𝑥+𝑏|(𝑎0,𝑏0)．（1）若𝑎=1,𝑏=2，解不等式𝑓(𝑥)≤5；（2）若𝑓(𝑥)的最小值为3，求𝑎2𝑏+𝑏2𝑎的最小值．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总4页参考答案1．A【解析】解析：由题设可得𝑎+2𝑖=𝑏𝑖−1，则𝑎=−1,𝑏=2，故𝑎𝑏=−2，应选答案A。2．D【解析】解析：由题设可知𝑛=3,𝑘=2，则所求事件的概率为𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1−𝑝)𝑛−𝑘=𝐶32𝑝2(1−𝑝)，应选答案D。3．B【解析】解析：由题设可知𝐵={12,1,32,2}，则𝐴∩𝐵={1,2}，应选答案B。4．D【解析】解析：由题设可知¬𝑞：表示乙的数学成绩不低于100分，则𝑝∨(¬𝑞)表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分，应选答案D。5．B【解析】解析：画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知不等式组表示的区域是两个斜边长为4的全等等腰直角三角形，则其面积𝑆=2×4×12×2=8，应选答案B。6．B【解析】解析：由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×81008100+7488+6912=300×810022500=108，则𝐴∩𝐵={1,2}，应选答案B。7．A【解析】解析：当𝑎=1时，2×𝑎2+1=32，则输出𝑦=log33=1；当𝑎=23时，2×𝑎2+1=92，则输出𝑦=log39=2；当𝑎=32时，则输出𝑦=log33=1，故输出的数值构成的集合𝐴={1,2}，应选答案A。8．C【解析】解析：由题设可知这是一个半圆𝑥2+(𝑦−1)2=1上点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离的最大值和最小值问题，因圆心𝐶(0,1)到直线𝑥−𝑦−2=0的距离𝑑=3√2，则𝑎=4√2,𝑏=3√2−1，故𝑎−𝑏=1+√22，应选答案B。9．B【解析】解析：因𝑓(𝑥)=sin𝑥−1𝑥是奇函数，且当𝑥∈(−𝜋2,0)时，都有𝑦/=cos𝑥+1𝑥20，函数𝑓(𝑥)=sin𝑥−1𝑥单调递增，故应选答案B。10．B【解析】解析：由题设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗可知四边形𝐴𝐵𝐷𝐶是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知∠𝐵𝐴𝐶=900，且当𝐴𝐵=𝐴𝐶时，四边形𝐴𝐵𝐷𝐶的面积最大，则𝛥𝐴𝐵𝐶的面积的最大值为𝑆max=12𝐴𝐵×𝐴𝐶sin900=12×(2√2)2=4，应选答案B。11．C【解析】解析：由题设可知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于直线𝑥=1成轴对称，且当𝑥1是增函数，当𝑥1时是减函数，因为𝑥1𝑥2，且𝑥1+𝑥22，所以𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)，应选答案C。本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总4页12．B【解析】解析：由题设可知lg3=𝑎+𝑏,lg2=𝑐−𝑎,lg6=𝑏+𝑐,lg5=𝑎−𝑐+1,lg14=𝑏−𝑎,lg8=3(𝑐−𝑎)都是正确的，所以lg3−lg14=2𝑎，即𝑎=12lg314，应选答案B。13．−10【解析】解析：因为(𝑥√𝑥−1𝑥)5的通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶5𝑟𝑥32(5−𝑟)(−1𝑥)𝑟=(−1)𝑟𝐶5𝑟𝑥32(5−𝑟)−𝑟，由题设可得32(5−𝑟)−𝑟=0⇒𝑟=3，故常数项为𝑇3+1=(−1)3𝐶53=−10，应填答案−10。14．35【解析】∵tan𝛼=2，则sin𝛼+cos𝛼2sin𝛼+cos𝛼=tan𝛼+12tan𝛼+1=35，故答案为35.15．𝜆1【解析】解析：因𝑆𝑛+1=𝑎𝑛+2−𝑎𝑛+1，则𝑆𝑛+1+1=𝑎𝑛+3−𝑎𝑛+2，将以上两式两边相减可得𝑎𝑛+3=2𝑎𝑛+2，则由等比数列的定义可得公比𝑞=2，所以𝑎𝑛=2𝑛−1,𝑆𝑛=2𝑛−1，则不等式𝜆𝑆𝑛𝑎𝑛可化为𝜆2𝑛−12𝑛−1(𝑛1)，而2𝑛−12𝑛−11，则𝜆1，应填答案35。16．√5−1【解析】解析：设𝑄(𝑡,𝑏𝑎𝑡)，则𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑡+𝑐,𝑏𝑎𝑡)，𝐹2𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑡−𝑐,𝑏𝑎𝑡)，由题设可得𝑡2−𝑐2+𝑏2𝑎2𝑡2=0，解之得𝑡=𝑎，所以𝑄(𝑎+𝑐,𝑏)，由𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得𝑃(𝑎+𝑐2,𝑏2)代入双曲线方程可得(𝑎+𝑐)2(2𝑎)2−14=1，即𝑎+𝑐=√5𝑐⇒𝑒=√5−1，应填答案√5−1。17．(1)(𝑘𝜋−𝜋3,𝑘𝜋+𝜋6),𝑘∈𝑍;(2)𝑓(𝛼)=2√29+34.【解析】（1）𝑓(𝑥)=sin𝑥cos(𝑥+𝜋6)+1=√32s