2.3.1-离散型随机变量的数学期望-(一)

2.3随机变量的数字特征第二章第1课时离散型随机变量的数学期望课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元．销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元．为盈得最大利润，书店应订购多少本新书？1.求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)______________________________________________．(2)______________________________________________．(3)__________________________________________．2．离散型随机变量分布列的性质：(1)pi________0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝________.找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi列出表格≥1一、离散型随机变量的数学期望一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．它反映了离散型随机变量的平均取值水平．在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三点：(1)数学期望(均值)的含义：数学期望(均值)是离散型随机变量的一个特征数，反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)数学期望(均值)的来源：数学期望(均值)不是通过一次或几次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值．(3)数学期望(均值)与平均数的区别：数学期望(均值)是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．已知随机变量X的分布列为：X－101P121316则E(X)等于()A．0B．－1C．－13D．16[答案]C[解析]由题意可知E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.二离散型随机变量数学期望的性质若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积；当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，此式表明随机变量与常量和的期望，等于随机变量的期望与这个常量的和；当a＝0时，E(b)＝b，此式表明常量的期望等于这个常量．上述公式证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为Yax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)[答案]B[解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.三、二点分布、二项分布及超几何分布的期望(1)若随机变量X服从参数为p的二点分布，X10Pp1－p则E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p.这表明，在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的数学期望取值为p.(2)设离散型随机变量X服从于参数为n和p的二项分布，由X的分布列P(X＝k)＝Cknpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，可知X的数学期望为E(X)＝0×C0np0qn＋1×C1np1qn－1＋…＋k×Cknpkqn－k＋…＋n×Cnnpnq0＝np(p＋q)n－1＝np，所以在X～B(n，p)时，E(X)＝np.(3)若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[答案]B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等．记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.1.若随机变量X服从二项分布B4，13，则E(X)的值为________.【解析】E(X)＝np＝4×13＝43.2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________.【解析】因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.四、求离散型随机变量数学期望的方法(1)求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布列，再代入公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(2)从离散型随机变量数学期望的概念可以看出，要求期望，必须求出相应取值及概率，列出分布列，再代入公式计算．这就要求全面分析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各离散型随机变量相应的概率．(3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤：①理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列；④由数学期望的定义求出E(X)．(4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布，可直接代入公式求数学期望．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0、1、2、3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.课堂典例探究在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．[分析]明确随机变量X的取值，计算每个取值的概率，然后列其分布列，最后计算E(X)．数学期望的求法[解析]从10件产品中任取3件共有C310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，其中k＝0,1,2,3.∴P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列为：X0123P72421407401120∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.[方法总结]求离散型随机变量X的数学期望步骤：1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值；2．求出X的每个值的概率；3．写出X的分布列；4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出数学期望．其中第1、2步是解答此类题目的关键．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X，求E(X)．[解析]记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝P(A)P(B)＝1－231－45＝115，P(X＝1)＝P(A·B)＋P(A·B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23·1－45＋1－23·45＝25，P(X＝2)＝P(A)P(B)＝23·45＝815.所以，X的分布列为X012P11525815∴E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某篮球运动员罚球的命中率为0.7，那么他罚球1次得分X的期望是多少？[分析]首先写出X的分布列，罚球一次可能命中，也可能不中，故服从两点分布．[解析]X的分布列为：P(X＝1)＝0.7，P(X＝0)＝0.3，∴E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.[方法总结]明确了是两点分布后只要找出成功概率即可．两点分布的期望[答案]A设一随机试验的结果只有A和A，P(A)＝p，令随机变量X＝1，A出现0，A不出现，则X的期望为()A．pB．1－pC．p(1－p)D．0设某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在他连续射击6次，求击中目标次数的期望．[分析]这是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数ξ的概率分布属于二项分布，可直接由二项分布的期望得出．二项分布的期望[解析]设击中目标的次数为ξ，依题意ξ～B(6，0.8)，所以E(ξ)＝6×0.8＝4.8.即击中目标次数的期望是4.8次．[方法总结]确定分布列的类型非常重要，其中二项分布对应独立重复试验，这一点是我们判断一个分布列是否为二项分布的标准．[答案]C某班有14的学生成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(X)的值为()A．14B．－14C．54D．－54[解析]E(X)＝5×14＝54.故选C．离散型随机变量的均值的性质(1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝16(k＝1、2、3、4、5、6)，求E(2X＋3)；(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝1n(k＝1、2、…、n)，求E(X)．[分析]利用离散型随机变量的均值概念与性质解题．[方法总结]求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解．对于aX＋b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．[解析](1)E(X)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝3.5，∴E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×3.5＋3＝10.(2)E(X)＝1n(1＋2＋…＋n)＝1n·nn＋12＝n＋12.设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[解析]由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1.∴m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3对随机变量ξ，若E(ξ)＝3，求E(3ξ＋2)．[错解]E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＝9.[辨析]E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.[正解]E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝9＋2＝11.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望理解离散型随机变量的数学期望的性质理解二点分布、二项分布及超几何分布的期望理解