《数学与猜想》读书报告

深圳大学考试答题纸(以论文、报告等形式考核专用)二○一一～二○一二学年度第二学期课程名称主讲教师评分姓名专业年级教育硕士（数学）2010级题目：《数学与猜想》读书报告教师评语：《数学与猜想》读书报告最近我阅读了波利亚著《数学与猜想》第一卷数学中的归纳与类比。这是一本谈古论今，内容丰富多彩，启发读者去提炼问题，研究问题，讨论问题，直至检验问题的书。本书通过许多古代著名的猜想，讨论了论证方法，读起来感到妙趣横生，引人入胜，能使人看到数学中真正的内在美。在数学与猜想这本书里，有三章讨论了归纳法的相关内容。第一章探讨了归纳方法，归纳法常常从观察开始，一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论感兴趣的数学家会观察整数1，2，3，4，5…的性质。我们应该考察所收集到的观察结果，对它们加以比较和综合，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容，在完全作出了详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试，数学家的创造性工作成果是论证推理即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。考察一个猜想的结论并根据这种考察的结果来判断猜想是否可靠，是一种典型的归纳方法，归纳法能导致错误这个道理太明显了，但是值得注意的是，尽管出现错误的机会占据绝大多数，归纳法有时却能导出真理，我们应当从归纳失败的明显例子开始研究。归纳法能说明所得的结果可靠，但决没有证明它一定可靠，可以看到用归纳法考察的结果，在数学的其它方法注意特殊情形的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发一般性的证明方法。第四章探讨了数论中的归纳方法，讨论了边长为整数的直角三角形（在什么情况下一个奇素数才是边长为整数的直角三角形的斜边长？在什么条件下不是？两种情形有何区别？最后得出猜想4N+1形式的素数可以是边长为整数的直角三角形的斜边长，4N+3的形式不是）。在数论的历史中它起过重要作用，它使人引出许多别的问题。例如，哪些数（不管本身是不是平方数）能表成平方和？不能表成平方和的数有什么性质？是否还能表成三个平方数之和？还有，不能表成三个平方和的数又有哪些数？要用多少个平方数来表示所有的自然数？最后得出了四方定理即方程n=x2+y2+z2+w2最后讨论了关于四奇数平方和问题，对于任何自然数，或者本身是平方数，或者总是两个，三个或四个平方数之和，关于四奇数平方和问题。第七章通过对数学归纳法的了解我知道了数学归纳与通常的归纳有什么关系？在检验一个猜想时，我们研究猜想适合的不同情形，希望知道猜想所主张的关系是否在任何情形下都是稳定的，也就是说不依赖于各种不同的情形，即不受各种情形的干扰，自然而然地我们注意到从这种情形到另一种情形的飞跃。物理学家牛顿具体化了一个从抛射体运动到行星动的连续飞跃，他着手去证明万有引力定律，而先考虑应该同样适用万有引力定律的两种情形之间的飞跃。在证明某个初等定定理时要用数学归纳法，考虑从n到n+1的飞跃，也就是两种情形之间的飞跃。同时数学归纳法是一种论证的方法，通常用在证明数学上的猜想，而这种猜想是我们用某种归纳方法所获得的。本书第二章讲的是一般化、特殊化、类比。在数学解题中强调“类比”并非波利严的奇思异想。“类比”原本是人类日常的思维方式。人类在日常生活中大量地以“类比”（广义上的“类比”包括“比喻”，尤其是“隐喻”、“比拟”，甚至包括“象征”）的方式说话。“类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方式和最高的科学成就。类比在各种不同的层次上得到应用。”只是当科学研究或哲学研究过于迷恋于逻辑思维、“论证推理”（波利亚将推理分为“论证推理”与“合情推理”）时，“类比”才从哲学以及数学等科学研究领域中淡出。结果，“类比”只是保留在“日常语言”以及“诗化语言”中。“当诗人把少女比作花朵时，他们感到其某些相似性”。波利亚苦心孤诣地在数学解题中倡导“类比”思维，可以说是在开发出一条“诗化数学语言”或“日常数学语言”的道路。这样看时，他在数学解题活动中倡导“类比”与其说是一种“新思维”，不如说是对人类日常思维的一种恢复和返回。“类比”也可以理解为“新旧知识”之间的联系，此时“类比”相当于奥苏贝尔（Ausubel,D.）的“一言以蔽之”，即学习者通过寻找自己已经知道了什么来解决新的问题。不过，波利亚的“类比”除了探明自己已经知道了什么之外，它更重视已知中的某个“类型”知识。这种“类型”化的知识具有“结构”的功能，它暗示学习者需要将自己的知识保持某种“结构”。而且，这里的“结构”不只是某种总体上的“知识结构”（可称之为“总体结构”），它更是系列的“类型”化的小型的知识结构（可称之为“类型结构”）。人们在谈论“新旧知识的关系”时，习惯于将学习者的“原有知识”作为某种总体性的知识结构，学习就是“新知识”与这种“总体结构”以“同化”或“顺应”的方式发生联系。这样解释并不完全错误，但实际上学习者在学习“新知识”时，“新知识”并不直接与“总体结构”发生联系，更多的是直接与原有的知识体系中的“类型结构”发生联系，并与原有的“类型结构”之间发生“同化”或“顺应”（尽管也间接地与“总体结构”发生联系）。如果说以前人们对“学习”的定义是“新知识与原有知识之间的同化或者顺应”，那么波利亚所强调的“类比”重新将“学习”定义为“新知识与原有的某类知识之间发生同化或顺应”。在享受到类比方法解决大大小小问题时的那种给予我们帮助的乐趣。本书第三章系统的介绍了立体几何中的归纳推理（典型例子通过猜想多面体面、顶点和棱的数来归纳证明欧拉公式F+V=E+2）和第十一章更多种类的合情推理。这两种推理之间之间的差异相当大而且是多方面的。无疑，论证推理是可靠的、无可置辩的和终决的，合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的。论证推理在科学中的渗透深度恰好和数学在科学中的渗透深度一样，但是论证推理本身（如数学本身那样）并不能产生关于我们周围世界本质上的新知识。我们所学到的关于世界的任何新东西都包含着合情推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理。论证推理有被逻辑（形式逻辑或论证逻辑）所制定和阐明的严格标准，而逻辑则是论证推理的一种理论。合情推理的标准是不固定的，并且这种推理在清晰程度上不能与论证逻辑相比或能博得相似的公认。数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面。以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅合证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的。在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路。你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的；只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。两种推理：论证推理和合情推理，在我看来它们之间并不矛盾，相反地，它们是互相补充的。在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试。而在合情推理之中，首要的事情是区别一种推测与另一种推测，区别理由较多的推测与理由较少的推测，如果你把注意力引导到这两种区别上来，那么就会对这两者有更清楚的认识。在探讨完两种推理之后，本书又通过一些典型例子（如：给定边数，在已知圆中求内接多边形的最大面积，把一长为L的直线分成几段，求这几段乘积的最大值，已知盒子的表面面各，求其最大容积。算术平均与几何平均定理等）的研究，并且把极大和极小问题归纳为几类：1.平面几何中的最小和最大距离。2.空间几何中的最小和最大距离。3.平面上的等高线问题。4.空间中的等值面。我们可以注意到，这些问题大都是些极大和极小的问题，我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定的时间内做最大的功。我们甚至倾向于设想，世界万物按我们的意愿行事，能以最小的努力获得最大的效果。如果你确实理解并感兴趣于你已经解决的一个问题，那么你就会得到一种宝贵的东西：一个模式，或一个模型，以后可模仿它去解决类似的问题，如果你想这样做，如果你这样做时获得了成功，如果你考虑到成功的理由，考虑到从已解决的问题去类推，考虑到解决这类问题能够达到的有关条件等等，那么你就可以提出一个模式，提出这样的模式以后，你便真的有所发现，总之，你就有机会获得一些必要的层次和便于应用的问题。本书还讲述了与极大和极小有关的等周问题(如：一个多边形，除一边外，已知其相邻的各边长度，求其最大面积及已知一个角用一条已知长度的线切割它，求其最大面积).这类问题比其他较为困难的数学问题更吸引人，这可能是出于十分朴素的理由，尽管每个人都有他自己的问题，。我们总希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，获者在一定的时间内做最大的功，当然，我们还希望冒最小的风险，本书关于极大和极小的问题给出了等周定理的三种形式：1.所有等周长的平面图形中，以圆的面积最大。2.所有等面积的平面图形中，以圆的周长最小。3.所有的平面曲线中，以圆的等同商最大。关于等周问题，笛卡儿通过圆，正方形，矩形，等边三角形等十个图形，都具有想同的面积，圆具有最短的周长。在具有相等体积的所有立方体中，球具有最小的表面面积。我们把这个命题称作“空间等周定理”.已经证明成功的许多结论，使得等周定理变得更加合乎推理逻辑。能够帮助我们预料其他的许多类似应用和问题，关于定理的推导又引起了进一步的新问题，在立体几何和数学物理中还类比地启示其他的问题，深刻立足于我们的生活经验和直观地观察中的等周定理，是如此容易猜到，但却不容易证明，它是诱发我们灵感的一个取之不尽的源。本书第六章更一般性的陈述，主要是数学研究中善于用归纳法的大师，他用归纳法，凭观察，大胆猜测和巧妙证明得出了放多重要的发现。欧拉的研究报告中关于整数因子和的一个非常奇特规律的发现。我从中学到很多关于数学、发明心理学、归纳推理的东西。这个被欧拉所研究的定理在今天仍具有很大的数学趣味。欧拉研究报告的概述，定理T包含无穷多个特例C1，C2，C3，…，反过来说，这无穷多个特例C1，C2，C3，…的整体即相当于定理T。我们可用简单计算验证C1成立与否，C2成立与否，C3等等成立与否。计算结果证得C1，C2，C3，…，C40都成立，我们只要做这些计算，一直到我们能深信这一系列计算不断地无限做下去而始终正确为止。发现定理T是正确的，即使没有可能证明它，从而所有由T得出的结论也将有相同的性质，就是说，它们是天上确的但未被证明，或者如果这些结论中的一个可以被证明，则我们就能够反过得到定理T的一个线索，由于有了这种想法，就用不同的方式来处理定理T，这样，除了其他收获之外，得到了定理T*，它和定理T是等价的。通过这本书，使我对数学的兴趣更深一步，数学不单单是无聊的数学公式，理是一种精神上的辅助工具，使我们的思维跳跃，从中领悟到更多的数学思想。