标量衍射理论

Ch2.标量衍射理论本部分是信息光学的物理基础重点:掌握光的传播就是光的衍射这一物理思想,理解角谱概念,从傅里叶光学的角度重新理解透镜这一基本光学元件的成像机理.难点:需要进行大量复杂的数学公式推导,以及透过数学公式看到物理本质需要花费足够的时间和精力2.1光波的数学表达式1coscoscos2222：k其中)](exp[trkjA平面波：xzαγyβk)]coscos(cosexp[]exp[zyxjkrkj)]cos(cosexp[]coscos1exp[22yxjkzjk)]coscos(2exp[]coscos1exp[22yxjzjk)](2exp[]coscos1exp[22yxjzjkcoscos空间频率方向角(α,β)的平面波在平面(x1,y1)的复振幅)]coscos(exp[110yxjkuu平面(x1,y1)等相位线常数coscos11yx]coscos1exp[220jkzAu设球面波]exp[jkrrAzyxzzyxr222122221)()](2exp[]exp[22yxzjkikzzA旁轴近似二次位相因子(球面位相因子）222zyx靠近z轴球面波z0表示会聚的球面波xy平面等相位线是一族同心圆常数22yx2.2空间频率和空间频谱光波u(x,y,z)乃空间坐标(x,y,z)的函数。引入傅立叶分析，在空间频率域中分析、研究光波场的空间频率与空间频谱光波→U(ξ,η,ζ)等相位面相位coskx相位差Δφ两线沿x方向距离coskx空间周期dx：相位差2π的两线沿x方向距离coscos2kdxk在x-z平面内(cosβ=0),空间频率ξ=1/dxcos1xd0cosxz平面内等相位面xy平面内等相位面cosx方向单位长度内变化的周期数0cosy方向均匀x,y方向单位长度内变化的周期数传播方向余弦为（cosα,cosβ）的一般情形)]coscos(exp[0yxjkuu(x,y)平面等相位线常数coscosyx空间周期cosxdcosydcoscos空间频率用α,β的余角表示2,2yxxsincosysincoszx0sincosxzαθkk在x-z平面内(cosβ=0)θ为传播方向与z轴（光轴）夹角]exp[,,zyxjkazyx：U若22221则其中ξ,η,ζ,1/λ分别是沿X,Y,Z和K方向的空间频率空间频谱:ddyxjGyxg)](2exp[),(),(空间坐标函数g(x,y)可写成dxdyyxjyxg：G)](2exp[),(),(其中函数g(x,y)可用无数个形式为)](2exp[yxj的基元函数组合得到即把g(x,y)分解成许多（一般无限多）空间频率成份函数G(ξ,η)代表空间频率为(ξ,η)的成份所占比例(权重）把G(ξ,η)称为g(x,y)的空间频谱平面xy的任一光波可分解成向空间各方向传播的平面波每一平面波成份与一组空间频率值（ξ,η）对应：传播方向为cosα=λξ,cosβ=λη，振幅为G(ξ,η)dxdyyxjyxgG)](2exp[),(),(亦可写成：dxdyyxjyxgG)]coscos(2exp[),()cos,cos(称为g(x,y)的角谱2.3Fresnel和Fraunhofer衍射1.标量衍射理论成立的两大条件:①衍射孔径比波长大得多；②观察点离衍射孔径不要太近。2.一般说来，不论以什么方式改变光波波面，都会引起衍射。(TB：P37三种方式)定义衍射屏复振幅透过率为：PUPUPtit)(dsrjkrrnrnrjkrajQU)exp(]2),cos(2),cos([)exp(1)(0000Q(x,y)光源P0r0rzPθ1θ2x0ndsQPhPUdsrjkrKPUj,)exp(100→脉冲响应或点扩散函数KrjkrjQP：h)exp(1,其中基尔霍夫衍射公式相干光场在自由空间传播时：])()(exp[1,,;,202020000yyxxzjkzjyyxxhyxyxh即脉冲响应具有空不变的形式。0000000,,,dydxyyxxhyxUyxU近轴0102180zyx),(00zr2120202])()([yyxxzr}])()[(211{2020zyyzxxz}]22[1{22020200222zyxzyyxxzyxzrFraunhofer衍射远场衍射Fresenl衍射近场衍射}])()[(211{2020zyyzxxz002020000]})()[(2exp{),()exp(),(dydxyyxxzjkyxUzjjkzyxUFresnel衍射时][2expexp),(202000yyxxzjkzjjkzyyxxh000022000]exp[]2exp[),()exp(),(dydxyyxxzjkyxzjkyxUzjjkzyxUFraunhofer衍射时]exp[]2exp[exp),;,(002200yyxxzjkyxzjkzjjkzyxyxh→不再具有空不变性质002020000]})()[(2exp{),()exp(),(dydxyyxxzjkyxUzjjkzyxUddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(),(),(),(),()exp(),(0yxhyxUzjjkzyxUFresnel衍射)](2exp[),(22yxzjkyx：h其中Fresnel衍射0000202000022)](exp[)](2exp[),()](2exp[)exp(),(dydxyyxxzjkyxzjkyxUyxzjkzjjkzyxU00002020000)](2exp[)](2exp[),(dydxyzyxzxjyxzjkyxUC0000000)](2exp[),(dydxyxjyxUC)],([000yxUCFFresnel衍射CUξηFraunhofer衍射022020zyx0000000)](2exp[),(),(dydxyxjyxUCyxU)],([000yxUCF),(),(UCyxUsincoszxzy00UU屏上场分布可直接从小孔场分布的傅立叶变换求得小孔场的傅立叶变换也可从直接观察屏上的场分布求得fFresnelFraunhofer近场衍射远场衍射薄透镜成像系统点光源像平面是Fraunhofer衍射λ=632nm孔径d=2mmz5mFraunhofer衍射一般情况Fresnel衍射点光源像平面Fraunhofer衍射lxlyFraunhofer衍射1.矩孔)()(),(0000yxlyrectlxrectyxt振幅透射率00000)](2exp[),(),(dydxyzyxzxjyxUCU000000)](2exp[)()(dydxyxjlyrectlxrectCyx)(sin)(sinyxyxlclclClxxyxyyxxyxllclClzylzylzxlzxllCl,sin)sin()sin(zxzy),(sin20yxllcII光强2.圆孔圆孔直径l振幅透射率)2()(00lrcircrtr0孔径平面坐标r观察平面坐标zrrUBzjkrzjjkzrU)]([)2exp()exp()(02傅立叶－贝赛尔变换平面波入射U(r0)=t(r0)2)()2()}2({120lJllrcircB]2)()2)[(2exp()exp()(122zlrzlrJlzjkrzjjkzrU]2)2(2[8)2exp()exp(122zklrzklrJzjklzjkrjkz2122]2)2(2[)8()(zklrzklrJzklrI强度分布210]2)2(2[RRJII光强3余弦振幅光栅)2cos(2121),(0000xfmyxt振幅透过率f0光栅频率单位长度条纹数1）光栅无限大)]2cos(2121[)],([0000xfmFyxtF)],(21),(21[21),(2100ffm)2cos(2121),(0000xfmyxt0级＋1级－1级),(41),(41),(2100fmfm光强)},(41),(41),({),(02020fmfmIIfξ=-f0ξ=f0ξ=02)光栅有限大)]2cos(2121)[(),(00000xfmlxrectyxtx)]2cos(2121[)]([)],([00000xfmFlxrectFyxtFx]),([sin41]),([sin41),(sin21),(00flcmflcmlcFxxxxlf20重叠部分忽略0级＋1级－1级光强]}),([sin41]),([sin41),({sin),(02202220flcmflcmlcIIxxx一级分量位置f0λz每个分量宽度∝λz/l光栅分辨本领∝f0λz/(λz/l)＝f0l正比于光栅上条纹数目与观察距离z无关2.4衍射的角谱理论x0zy0波传播方向设孔径平面x0y0上光场分布为U0(x0,y0)角谱为：)cos,cos(0A观察平面xy上光场分布为U(x,y)角谱为：)cos,cos(A220coscos1exp)cos,cos()cos,cos(jkzAA讨论,1coscos22时1.当真正对应于空间某一确定方向传播的平面波,1coscos22时2.当倏逝波，可忽略不计zAAexp)cos,cos()cos,cos(00cos1coscos22，时3.当该波的传播方向垂直于Z轴，它在Z轴的净能流为零传递函数])()(1exp[),(),(),(220zjkAAH0])()(1exp[),(22zjkH2221其它地方传播可看成一个有限带宽的线性色散空间滤波器其透过率在频率平面上半径λ-1圆形区域外为0圆形带宽内传递函数模为1但引入与频率有关相移基尔霍夫理论是描述球面子波相干叠加的理论,它在空域讨论光的传播。角谱理论是衍射的平面波理论,它在频域讨论光的传播。衍射孔径对角谱的效应z=0平面上一无穷大不透明屏一孔Σ透射函数，其它地方上点在0,1),(00yxt紧靠平面后的场),(),(),(000000yxtyxUyxUio设入射光角谱)cos,cos(iA透射光角谱)cos,cos()cos,cos()cos,cos(TAAio000000)]coscos(2exp[),()cos,cos(dydxyxjyx