投入产出模型

1§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————投入产出分析由美国经济学家W.Leontief于20世纪30年代首先提出，其基本思想是：利用线性代数的理论和方法，研究一个经济系统的各部门之间错综复杂的联系，建立相应的数学模型，用于经济分析和预测.设一个经济系统有个部门：部门1，部门2，…，部门n，且规定：（1）部门i仅生产一种产品i（部门i的产出）.不同部门的产品不能相互替代，即部门与产出一一对应；（2）在生产过程中，部门j至少需要消耗另一部门i的产品（部门i对部门j的投入），且部门i对部门j的投入与部门i的产出成正比.投入产出模型2§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型投入产出模型和实物型投入产出模型.在价值型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以货币为单位来计量；在实物型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以实物为单位来计量.3§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————先来研究价值型投入产出模型.根据往年资料可知，部门i的中间产出，ixijxnjijx1部门i的最终产出，njijiixxy1.,,2,1ni部门i的产出，部门i对各部门j的投入,4§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————部门j的纯收入，jmjVjjjVmZnj,,2,1根据上述资料，编制价值型投入产出表：部门j的新创造价值部门j的劳动报酬，5§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————6§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————由投入产出表易有（投入＝新创造价值＋物质消耗）nixyxnjijii,,2,1,1njxzxniijjj,,2,1,1产品分配平衡方程组：（6.1）产值构成平衡方程组：（6.2）7§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————引入直接消耗系数njixxajijij,,2,1,,显然，aij表示生产单位产品j所需直接消耗产品i的数量.由直接消耗系数的定义知，njixaxjijij,,2,1,,（1）代入（6.1）得nixayxnjjijii,,2,1,18§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————nnnnnnnnnnnyxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxax2211222221212112121111（6.3）令nxxxX21（产出向量），nyyyY21（投入向量），9§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211（直接消耗系数矩阵），则（6.3）即为YAXX或YXAE)(直接消耗系数矩阵的性质：性质1.,,2,1,,0njiaij（6.4）10§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————证njixxajijij,,2,1,,0.▍性质2.,,2,1,11njaniij证,1111,11111kniikniikknikikniikniikxxxxxxaankk，则，有（反证法）假设推论njiaij,,2,1,,10矛盾.▍.▍11§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————.1||,,,2,1,1||,,2,1,1||)(17.411，有的特征值则或，若设矩阵AnjaniaaAThniijnjijnnij证的特征向量为属于特征值设矩阵A021nxxx.,,2,1,1||1的情况仅需证若nianjij12§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————则,Anixxainjjij,,2,1,1即令,0|}{|max||1inikxxnjkjkjnjkjkjnjkjkjknjjkjkkkkxxaxxaxxaxxaxxxx1111||1||||则njkjnjkjnjkjkjaaxxa1111||||13§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————若,,,2,1,1||1nianjij1||1njkja则.1||满足的任一特征值则为直接消耗系数矩阵，设AA证由推论1及Th4.15知，.0)(01kkAAEAEA且可逆，则为直接消耗系数矩阵，设).(0kAk.▍证性质1，2+Th4.17.▍推论1推论214§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————再由Th4.16知，即证.▍.0)(001预测和分析展作出，从而对未来的经济发则，，根据上述讨论，若根据上述讨论，若YAEXYY（2）代入（6.2）得njxazxnijijjj,,2,1,1即nnnnnnnnnnnzxaxaxaxzxaxaxaxzxaxaxax2122222221221111211111（6.5）15§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————令nzzzZ21（新创造价值向量），niinniiniiaaaD1121116§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————则（6.5）即为ZDXX或ZXDE)(矩阵D的性质：.0)(1DEDE可逆，且证利用直接消耗系数矩阵的性质2验证即可.▍0)(01ZDEXZ，则根据以上讨论，若例下表为根据某地区某年的统计资料编制的投入产出表，（6.6）（6.4）和（6.6）合称为价值型投入产出模型.17§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————又计划下一年农业，工业，服务业的最终需求分别为135，13820，1023，试对该地区下一年的经济发展作出预测和分析.解：易求直接消耗系数矩阵为1077.00114.01192.01282.04410.03005.00014.00018.01399.0A18§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————于是1243.10234.01640.02591.07962.16635.00024.00038.01643.1)(1AE（可利用Mathematica软件计算）又,102313820135Y4.14960.251781.212)(1YAEX19§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————故预计下一年农业，工业，服务业的总产出分别为4.1496,0.25178,1.212321xxx从而，可得下一年农业，工业，服务业三个部门间的流量，以及下一年农业，工业，服务业三个部门的新创造价值.根据上述得到的数据，编制下一年的投入产出表如下：20§4.6.1应用（二）－投入产出分析—————————————————————据此可为决策提供科学依据.▍21§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————直接消耗系数aij,i,j=1,2,…,n表示部门j生产单位产品j所需直接消耗的部门i的产品i的数量.然而，一般而言，部门j除直接消耗部门i的产品外，还要通过一系列中间环节间接消耗部门i的产品.直接消耗与间接消耗的和称为完全消耗.令aij=部门j生产单位产品j所需完全消耗的部门i的产品的数量，nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211（完全消耗系数矩阵），完全消耗系数22§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————则由完全消耗的定义知nkkjikijijabab1BAABAAEB)(.)())](([)(111EAEAEAEEAEAB又由定理4.13知，,)(21kAAAEAE.)(22kkAAAEAAAEBBEAEEAEB11)()(再由前面的结论，YBEYAEX)()(1即或解之得于是，令23§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————部门i的最终产出，ijqnji,,2,1,iQiq部门j新创造的价值，jpjzˆ编制价值型投入产出表：实物型投入产出模型现在来研究价值型投入产出模型.在实物型投入产出模型中，各部门的投入，产出均以实物为单位来计量.根据往年统计资料：（实物单位）部门i对部门j的投入，部门i的产出，产品j的价格，24§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————由投入产出表有niqqQnjijii,,2,1,1（6.1）njqpzQpnjijijjj,,2,1,ˆ1（6.2）25§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————引入直接消耗系数njiQqajijij,,2,1,,~.0~~ijijaija，且的数量所需直接消耗产品表示生产单位产品显然，由直接消耗系数的定义知，.njiQaqjijij,,2,1,,~（1）代入（6.1）得niQaqQnjjijii,,2,1,~1即26§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————nnnnnnnnnnnqQaQaQaQqQaQaQaQqQaQaQaQ~~~~~~~~~2211222221212112121111（6.3）令nQQQQ21nqqqq2127§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————nnnnnnaaaaaaaaaA~~~~~~~~~~212222111211（直接消耗系数矩阵），则（6.3）即为qQAQ~或qQAE)~(（6.4）（2）由（6.2）得28§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————njQqpQzpnjjijijjj,,2,1,ˆ1令njQzzjjj,,2,1,ˆ~则上式即为njapzpnjijijj,,2,1,~~1或nnnnnnnnnnnzpapapapzpapapapzpapapap~~~~~~~~~~~~2211222221122112211111（6.5）29§4.6.2应用（二）－投入产出分析—————————————————————令npppp21nzzzZ~~~~21则（6.5）即为ZpApT~~或TTZAEp~)~(（6.6）（6.4）和（