自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型

第一节基本概念一、控制系统数学模型的定义描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。二、建立控制系统数学模型的意义数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。三、建立控制系统数学模型的方法1、理论建模*2、试验建模3、系统辨识四、控制系统数学模型的几种形式1、微分方程2、传递函数*3、频率特性*第二节微分方程的建立一、微分方程的建立1、无源电网络模型实例2、机械位移实例3、机械旋转实例4、直流电动机系统实例二、非线性模型的线性化1、线性模型的特征—齐次性和叠加性2、非线性模型线性化问题的提出—理论研究和工程应用的需要3、线性化的基本方法—静态工作点附近线性化（级数展开）4、液位系统线性化模型求取应用实例三、控制系统数学模型特征1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数；2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同；3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据。课后练习一无源电网络模型实例解题步骤及求取过程确定图示无源的网络的输入ur(t)和输出uc(t)；依据回路电压定律，设置中间变量回路电流i(t)，从输入到输出建立原始微分方程组；代入消元，获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。RLC)(tur)(tuc__)(ti(t)ui(t)dtC1(t)ui(t)dtC1Ri(t)dtdi(t)Lcr(t)u(t)udt(t)duRCdt(t)udLCrcc2c2消除中间变量i(t)，化微分方程为规范结构形式机械位移实例解题依据运动学定律：作用力=反作用力;∑F=ma。求取过程输入外力F(t)；输出质量模块m的位移y(t)。)(tFm)(tyfkF(t)ky(t)dtdy(t)fdty(t)dm22(t)F(t)FF(t)dty(t)dmkB22dtdy(t)f(t)FBky(t)(t)Fk机械旋转实例解题依据运动学定律：作用力矩=反作用力矩;∑M=Ja求取过程输入动力矩Mf；输出物体旋转角度θ或角速度ω。dtdθfMdtθ(t)dJf22fMff22Mdtdθfdtθd角位移方程：JfMfωdtdω角速度方程：J直流电动机系统实例解题依据基尔霍夫定律；运动学定律；直流发电机相关定律。求取过程电网络平衡方程电动势平衡方程机械平衡方程转矩平衡方程（空载Ml=0）aRaLaIaEaUfUfiaMaJLMaaaaaaUEIRdtdILωKEeaLaaMMdtdωJaCaIKMaeCaa22CaaUωKdtdωKRJdtωdKLJ液位系统线性化模型求取应用实例求取过程确定系统的输入和输出建立原始方程组非线性模型线性化系统微分方程的求取)(th)(2tq)(1tq(t);q(t)qdtdh(t)C21;h(t)α(t)q2h(t)R1(t)q(t)]h[h(t)R1(t)q(t)q(t)]hh(t)[dt(t)dq(t)q(t)qh(t)α(t)q202020(t)q2202220(t)Rqh(t)dtdh(t)RC1(t)q(t)qdt(t)dqRC122课后练习一习题1建立图示电网络输入电压和输出电压之间的微分方程。习题2建立图示初箱输入流量和末箱水位之间的微分方程。（两个水箱的横截面积分别为C1和C2）L1R2RCrucu__1u_1hrqcq2h1R0q2R)()()()()()(112121tuRtuRtuLCRRtuLCRRrccc)()()()()(22212221122121tqRththCRCRCRthCCRRr第三节传递函数问题的提出,拉氏变换传递函数的定义及表示形式零初始条件下输出象函数与输入象函数的比值。有理真分式多项式输出响应象函数为：传递函数的特征及性质传递函数的求取方法m)(nr(t)b(t)rb(t)rbc(t)a(t)ca(t)ca01(m)m01(n)nM(s)N(s)asasasabsbsbsbR(s)C(s)G(s)011n1nnn011m1mmmR(s)G(s)C(s)设函数f(t)的定义域为，若积分[0,）0()dptftet对于s在某一范围内的值收敛,则此积分0()()dptFsftet函数F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为f(t)的象函数，函数f(t)称为F(s)的原函数，以上公式简称为拉氏变换式，用记号L[f(t)]表示，即就确定了s的函数,记作()[()]FsLft拉氏变换典型函数的拉氏变换[()]1Lt1[1()]Lts21[]Lts1![]mmmLts22[sin]wLwtsw22[s]sLcowtsw拉氏变换性质1(线性性质)若a1,a2为常数，设1122[()]()[()]()LftFsLftFs，关于原函数导数的拉氏变换．11221122[()()]()()LaftaftaFsaFs则性质2(微分性质)[()]()LftFs设则：[()]()(0)LftsFsf此性质可推广到n阶导数,特别是当各阶导数初值为(1)(0)(0)(0)0nfff时，有关于象原函数积分的拉氏变换.()[()]()nnLftsFs（n为自然数，p0）性质3(积分性质)性质4(平移性质)设[()]()LftFs则0()[()]tFsLfxdxs设[()]()LftFs则[()]()atLeftFsa拉氏变换性质5(延滞性质)性质6(象函数的相似性质)设[()]()LftFs则[()]()asLftaeFs设[()]()LftFs则1[()]()sLfatFaa0a性质7(初值定理)设[()]()LftFs且f(t)连续可导，则0limlim()()tssFsft或lim()(0)ssFsf拉氏变换性质8（终值定理）设[()]()LftFs则0limlim()()()tssFsftf拉氏变换三、线性系统微分方程的解式中p(t)——微分方程的特解h(t)——微分方程对应的齐次方程的解（通解）2、采用拉氏变换法求出微分方程的解为：式中1(t)——微分方程的零初始条件解（或零状态解）2(t)——微分方程的零输入解（或自由响应）在控制理论中，通常将微分方程的解区分为稳态解和暂态解，实际上稳态解与暂态解之和与前述两种方法求出的解相同。稳态解是微分方程的解中不随时间变化的部分，而暂态解则是微分方程的解中随时间变化的部分。对稳态解的分析可以确定系统的稳态特性，对暂态解的分析则可以确定系统的暂态性能。式中p(t)——微分方程的特解h(t)——微分方程对应的齐次方程的解（通解）2、采用拉氏变换法求出微分方程的解为：式中p(t)——微分方程的特解h(t)——微分方程对应的齐次方程的解（通解）2、采用拉氏变换法求出微分方程的解为：式中p(t)——微分方程的特解h(t)——微分方程对应的齐次方程的解（通解）2、采用拉氏变换法求出微分方程的解为：1、采用经典方法求出微分方程的解为：例2.5设线性微分方程为式中,u（t）为单位阶跃函数,初始条件为y(0)=-1,y(0)=2,试求该微分方程的解求解结果为:传递函数的特征及性质1、传递函数表征了系统对输入信号的传递能力，是系统的固有特性，与输入信号类型及大小无关。2、传递函数只适用于线性连续定常系统。3、传递函数仅描述系统的输入/输出特性。不同的物理系统可以有相同的传递函数。同一系统中，不同物理量之间对应的传递函数也不相同。4、初始条件为零时，系统单位脉冲响应的拉氏变换为系统的传递函数。5、实际系统中有n≥m，n称为系统的阶数；6、传递函数是系统性能分析的最简形式之一。传递函数的求取方法及应用举例方法一：依据系统微分方程求确定输入/输出间的传递函数方法二：依据原始方程组代入消元求传递函数方法三：电网络系统可利用复阻抗的直接求取传递函数方法四:依据系统的输入输出信号求传递函数方法二举例解题过程：1hrqcq2h1R0q2R22c22c01210110r22c2201210110rR(s)H(s)Q(s)sHc(s)Q(s)QR(s)H(s)H(s)Q(s)sHc(s)Q(s)QR(t)h(t)q(t)hcqc(t)(t)qR(t)h(t)h(t)q(t)hc(t)q(t)q1)sCRCRC(RsCCRR1(s)Q(s)QG(s)12221122121rc1)sCRCRC(RsCCRRR(s)Q(s)HG(s)122211221212r2注意：负载效应！方法三举例解题过程：L1R2RCrucu__1u_121221121212rcRL)sCR(R)LCsR(RRcs1Rcs1Ls)//Rcs1(R)//Rcs1(R(s)U(s)UG(s)应用复阻抗概念和分压定理使电网络传递函数的求取过程大大简化！！R1R2CU1(s)U2(s))csR1(1RRRRcs1(s)U(s)UG(s)2121212方法四举例系统单位阶跃输入及零初始条件下的输出响应为：求传递函数。2ttee1c(t)G(s)R(s)C(s)s1R(s)r(t)2s11s1s1C(s)c(t)23ss22ssG(s)22第四节动态结构图（方框图）方框图的组成信号线方框引出点和点方框图的特点系统结构直观明了，且具有明确的物理意义和数量关系，是定量分析系统性能最直观的图形表示方法；简化复杂系统传递函数的求取过程；便于在不同输入或输出情况下全面分析系统性能；便于进行控制系统的设计与改造。方框图的绘制E(s)G(s)H(s)C(s)R(s)B(s)C(s)G(s)H(s)R(s)B(s)E(s)G(s)N(s)方框图的绘制绘制依据：基于系统物理模型对应的原始方程组的象函数表达式，或基于电网络的复阻抗表示形式。绘制思路：从系统的输入到输出，按信号的传递方向和形式以及传递强度，分别用信号线、方框、和点或引出点依次表示成图形的形式。应用举例：双容水箱无源网络课后练习二双容水箱22c22c01210110rR(s)H(s)Q(s)sHc(s)Q(s)QR(s)H(s)H(s)Q(s)sHc(s)Q(s)QsC111R1sC122R1)s(Qr)s(Q0)s(H1)s(Q0)s(Qc)s(H2原始模型1hrqcq2h1R0q2R无源网络Ls1R2Rcs1)(sUr)(sUc)(1sUI(s)I2(s)I1(s)Ls11R21R)(sUr)(1sU)(sI)(1sU)(sUc)(2sI)(2sI)(sUccs1无源网络依据复阻抗概念直接绘制:课后练习二习题1绘制图示电网络的方框图。求输出电压与输入电压之间的传递函数。习题2绘制图示液位系统的方框图。求初级水箱入口流量与末级水箱水位之间的传递函数。1R2Rsc21)(sUr)(sUc)(1sUI(s)I2(s)I1(s)sc111hrqcq2h1R0q2R1hrqcq2h1R0q2R第五节方框图等效变换求传递函数方框图的等效变换法则基本变换法则串联并联反馈连接移动变换法则和点互换引出点互换和点与方框的互换引出点和方框的互换等效变换应用举例变换准则：变换前后变换部分的所有外部信号等价！！课后练习三基本变换法则)(1sG)(2sG)(2)(1sGsGx1x2x2x1)(1sG)(2sG)(2)(1sGsGx1x2x2x1)(sG)(sH)()(1)(sHsGsGR(s)C(s)C(s)R(s)B(s)E(s)串联并联负反馈联结移动变换法则和点互换引出点互