定积分的概念教学案例设计

《定积分的概念》教学案例设计1教学目标及重点、难点1.1教学目标知识目标：1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分．3.理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2教学过程简录2.1实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤是什么？”学生：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）教师：“对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究．2.2演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.”（教师动画演示对曲边梯形的分割过程）这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1定积分的概念设函数)(xf在区间],[ba上有定义，任意用分点bxxxxan210将],[ba分成n个小区间，用1iiixxx表示第i个小区间的长度，在],[1iixx上任取一点i，作乘积iixf)(，ni,,2,1.再作和niiixf1)(.若当0}{max1inix时，上式的极限存在，则称函数)(xf在区间],[ba上可积，并称此极限值为)(xf在],[ba上的定积分，记作badxxf)(.即图5－1a=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xyniiibaxfdxxf10)(lim)(.(1)其中)(xf称为被积函数，dxxf)(称为被积表达式，x称为积分变量，],[ba称为积分区间，ba,分别称为积分下限和上限.许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为)(tv，则在时间区间],[ba上，物体经过的路程为badttvs)(.(2)同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为badxxfA)((3)()baWFrdr变力做功(4)I．)(xf在],[ba可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i在小区间],[1iixx上如何选取，只要0，极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理在闭区间],[ba上连续的函数必在],[ba上可积；在区间],[ba上有界且只有有限个间断点的函数也必在],[ba上可积.II．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即bababadttfduufdxxf)()()(．III．定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当ab时，abbadxxfdxxf)()(．0)(aadxxf．2.2.2定积分的几何意义I．若0)(xf，则积分badxxf)(表示如图所示的曲边梯形的面积，即Adxxfba)(．针对训练：用定积分表示下列图形的面积.(两名学生上黑板板书)学生1：102xdx学生2：430sinxdxy=f(x)baOyxy=f(x)Oyx随堂检测：利用定积分的几何意义求值:(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)学生3：（略）学生4：练习：计算下列定积分学生5：（略）学生6：（略）II．若0)(xf，则积分badxxf)(表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即Adxxfba)(．这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是)(xf而不是)(xf．对定积分的几何意义的几点补充说明：根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?学生7：可以用两部分面积的差表示：III．如果在],[ba上)(xf的值有正也有负，如图，则积分badxxf)(表示介于x轴、曲线)(xfy及直线bxax、之间各部分面积的代数和．即在x轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积：321)(AAAdxxfba．2.2.3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1abdxba1性质2babadxxfkdxxkf)()(（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）yxo12,[2,2]x2被积函数y=4-x表示圆心在原点，半径为2的半圆周，此积分计算的是半圆周的面积。半径为2的半圆，此积分计算的是半圆的面积.abyf(x)Oxy()ygx2()baSgxdxyOxyyf(x)1()baSfxdx说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分表示为？学生8：2、计算定积分：学生9：（2）式表示半圆2.3发散思考，深入探索不计算积分，比较下列各组积分的大小:(1)xdx10,dxx210;(2)xdx21,dxx221;(3)xdx10,dxx)1ln(10;(4)xdxsin02,xdxsin20.（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范围的大小.教师：表述更严谨应该怎么说？学生11：应该是区间长度的大小.教师：推广到一般情形呢？:学生12：若在区间],[ba上，0)(xf，则0)(dxxfba．学生13：若在区间],[ba上，)()(xgxf，则dxxgdxxfbaba)()(．学生14：先画图再定值.比较积分区间上两函数大小,再由dxxgdxxfbaba)()(即得(3)令0111)(),1ln()('xxFxxxF,)(xF0)0(F.2.4归纳小结，提炼升华（学生从知识和数学思想两方面总结，教师加以归纳引导）1、本节课学习了哪些内容？定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．性质1性质4120(2)xxdx202022dxxxdx2、体现了哪些数学思想？“以直代曲”，“近似代替”，“无限逼近”，“极限的思想”作业课本50页习题A.B组板书设计1.5.3定积分的概念定积分的概念定积分的性质定积分的几何意义练习针对训练小结