不定积分换元法

第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设,)()(ufuF可导,CxF)]([)(d)(xuuuf)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有一、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)机动目录上页下页返回结束例1.求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注:当时机动目录上页下页返回结束22)(1d1axxa例2.求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan)(ax机动目录上页下页返回结束例3.求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax机动目录上页下页返回结束例4.求解:xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind机动目录上页下页返回结束类似Caxaxaln21例5.求解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd机动目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx机动目录上页下页返回结束例7.求.d3xxex解:原式=xexd23)3d(323xexCex332例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC机动目录上页下页返回结束例9.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2xeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样机动目录上页下页返回结束xxsin11sin1121例10.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln机动目录上页下页返回结束222d)(2123xax例11.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax机动目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx例12.求解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(212341xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xx机动目录上页下页返回结束例13.求解:xx3cossin22221)]2sin4(sin[xxxxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1(81xxx2cos2sin2)4cos1(81x∴原式=xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xx机动目录上页下页返回结束xexexxxddxexxd)1(例14.求解:原式=xexe)1(1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1(1xxxxxexexexexexlnxex1lnCCexxxx1lnln机动目录上页下页返回结束分析:例15.求解:原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2xxfxfxfxfd)()()()(22Cxfxf2)()(21))()(d(xfxf机动目录上页下页返回结束)()(xfxf小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动目录上页下页返回结束利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?xx4d)1(24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxx22214)4(dxxxx2121机动目录上页下页返回结束2.求提示:法1法2法310)x10dx10110(x10dx101作业目录上页下页返回结束二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(CxF)()()]([)(ttft定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt证:的原函数为设)()]([ttf,)(t令])([)(1xxF则)(xFtddxtdd)()]([ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)]([1Ct][)(1xt)(1d)()]([xttttf机动目录上页下页返回结束则有换元公式例16.求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xataxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动目录上页下页返回结束例17.求解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22axtln22ax)ln(1aCC机动目录上页下页返回结束xa1C例18.求解:,时当ax令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC机动目录上页下页返回结束22axaxa,时当ax令,ux,au则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC机动目录上页下页返回结束说明:被积函数含有时,除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式,所得结果一致.taxch或22ax或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式原式21)1(22ta221a例19.求.d422xxxa解:令,1tx则原式ttd12tttad)1(212242112ttaCata2223)1(23当x0时,类似可得同样结果.)1(d22ta机动目录上页下页返回结束小结:1.第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch机动目录上页下页返回结束第四节讲机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6(xafx令xat机动目录上页下页返回结束解:原式xxd2)1(122)2()1(dx21arctan21xC机动目录上页下页返回结束例20.求例21.求解:223)2()2(d21xxICxx942ln212例22.求解:原式=22)()()(d21x2521x机动目录上页下页返回结束例23.求解:原式xxee21dCexarcsin例24.求解:令,1tx得原式ttatd1221)1(d2122222tataaCtaa11222机动目录上页下页返回结束ttttd)1(12132例25.求解:原式1)1()1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1(22ttd12ttd112例16tttarcsin121221CtarcsinCxxxx1121)1(221arcsin22例16目录上页下页返回结束思考与练习1.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令机动目录上页下页返回结束2.已知求解:两边求导,得则)1(xt令1(1)(代回原变量)机动目录上页下页返回结束作业P2042(4),(5),(8),(9),(11),(16),(18),(19),(21),(25),(28),(29),(30),(32),(33),(35),(36),(40)第三节目录上页下页返回结束xxxd11)132备用题1.求下列积分:)1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx52)1(2x)1d(x2212xxCx21arcsin5机动目录上页下页返回结束2.求不定积分解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法,xx22sin2sin1原式=)sin1(d2x令xt2sin1tttd1222ttd)111(22t2Ctarctan2Cxx22sin1arctansin12得机动目录上页下页返回结束分子分母同除以3.求不定积分解:令,sintx,sin1122txttxdcosd原式t2cos221机动目录上页下页返回结束