届高考数学一轮复习测试卷正弦定理和余弦定理

第二十二讲正弦定理和余弦定理一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·湖北)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63解析：依题意得0°B60°，由正弦定理得asinA＝bsinB得sinB＝bsinAa＝33，cosB＝1－sin2B＝63，选D.答案：D2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由sinC＝23sinB可得c＝23b，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc＋c22bc＝32，于是A＝30°，故选A.答案：A3．(2010·江西)E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝()A.1627B.23C.33D.34解析：设AC＝1，则AE＝EF＝FB＝13AB＝23，由余弦定理得CE＝CF＝AE2＋AC2－2AC·AEcos45°＝53，所以cos∠ECF＝CE2＋CF2－EF22CE·CF＝45，所以tan∠ECF＝sin∠ECFcos∠ECF＝1－45245＝34.答案：D4．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π2，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，∴lgac＝lgsinB＝lg22.∴ac＝sinB＝22.∵B∈0，π2，∴B＝π4，由c＝2a，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝3a2－b222a2＝22.∴a2＝b2，∴a＝b.答案：D5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为()A．1＋3B．3＋3C.3＋33D．2＋3解析：2b＝a＋c，12ac·12＝12⇒ac＝2，a2＋c2＝4b2－4，b2＝a2＋c2－2ac·32⇒b2＝4＋233⇒b＝3＋33.答案：C6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sin2A－cos2A＝12，则()A．b＋c＝2aB．b＋c2aC．b＋c≤2aD．b＋c≥2a解析：由sin2A－cos2A＝12，得cos2A＝－12，又A是锐角，所以A＝60°，于是B＋C＝120°.所以b＋c2a＝sinB＋sinC2sinA＝2sinB＋C2cosB－C23＝cosB－C2≤1，b＋c≤2a.答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江苏)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．解析：解法一：取a＝b＝1，则cosC＝13，由余弦定理和c2＝a2＋b2－2abcosC＝43，∴c＝233.在如图所示的等腰三角形ABC中，可得tanA＝tanB＝2，又sinC＝223，tanC＝22，∴tanCtanA＋tanCtanB＝4.解法二：ba＋ab＝6cosC得，a2＋b2ab＝6·a2＋b2－c22ab，即a2＋b2＝32c2，∴tanCtanA＋tanCtanB＝tanCcosAsinA＋cosBsinB＝sin2CcosCsinAsinB＝2c2a2＋b2－c2＝4.答案：48．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析：由sinB＋cosB＝2sinB＋π4＝2得sinB＋π4＝1，所以B＝π4.由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2·sinπ42＝12，所以A＝π6或5π6(舍去)．答案：π69．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝2，∠ADB＝135°.若AC＝2AB，则BD＝________.解析：如图，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则由题设可知BD＝13a，CD＝23a，所以根据余弦定理可得b2＝(2)2＋23a2－2×2×23acos45°，c2＝(2)2＋13a2－2×2×13acos135°，由题意知b＝2c，可解得a＝6＋35，所以BD＝13a＝2＋5.答案：2＋510．(2010·新课标全国)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.解析：由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，又因为AD＝2，所以S△ADC＝12AD·DCsin60°＝3－3，所以DC＝2(3－1)，又因为BD＝12DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝12DC·AE＝3－3，所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝3，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝AEEC＝323－3＝2＋3，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．(2010·全国Ⅰ)已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a1tanA＋b1tanB，求内角C.解：由a＋b＝a1tanA＋b1tanB及正弦定理得sinA＋sinB＝cosA＋cosB，即sinA－cosA＝cosB－sinB，从而sinAcosπ4－cosAsinπ4＝cosBsinπ4－sinBcosπ4，即sinA－π4＝sinπ4－B.又0A＋Bπ，故A－π4＝π4－B，A＋B＝π2，所以C＝π2.12．(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．13．(2010·陕西)如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．解：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，∴AB＝AD·sin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝10×3222＝56.