9第九章-二阶电路

第九章二阶电路分析由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。本章主要讨论含两个动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应。最后介绍如何利用计算机程序分析高阶动态电路。§9－1RLC串联电路的零输入响应一、RLC串联电路的微分方程图9－1RLC串联二阶电路)()()()(SCLRtutututu2c2LcRcCLdddd)(dd)()(dd)()()(tuLCtiLtutuRCtRitutuCtititi为了得到图9－1所示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程根据前述方程得到以下微分方程)19()(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。)29(0ddddCC2C2utuRCtuLC其特征方程为)39(012RCsLCs其特征根为)49(122221LCLRLRs，零输入响应方程为电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况1.时，为不相等的实根。过阻尼情况。CLR221,ss2.时，为两个相等的实根。临界阻尼情况。21,ssCLR23.时，为共轭复数根。欠阻尼情况。CLR221,ss二、过阻尼情况当时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式CLR2)59(ee)(2121CtstsKKtu式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0)确定。)69()0(21CKKu对式(9－5)求导，再令t=0得到)79()0(d)(dL22110CCisKsKttut求解以上两个方程，可以得到CiusssKCiusssK)0()0(1)0()0(1LC1212LC2121－＝－＝由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。例9-1电路如图9-1所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输入响应。42138331222221LCLRLRs，解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率图9－1RLC串联二阶电路将固有频率s1=-2和s2=-4代入式（9－5）得到)0(ee)(4221CtKKtutt利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值iL(0)=1A得到以下两个方程：4)0(42d)(d2)0(L210C21CCiKKttuKKutK1=6K2=-4)0(V)e4e6()(42Cttutt最后得到电容电压的零输入响应为利用KCL和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应)0(A)e4e3(dd)()(42CCLttuCtititt从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。三、临界情况当时，电路的固有频率s1,s2为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式CLR2)89(ee)(21CststtKKtu式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0)确定。令式(9-5)中的t=0得到)99()0(1CKu联立求解以上两个方程，可以得到)0()0()0(C1L2C1usCiKuK将K1,K2的计算结果，代入式（9－8）得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应。对式(9－5)求导，再令得到)109()0(d)(dL210CCiKsKttut例9-2电路如图9-1所示。已知已知R=1，L=0.25H，C=1F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应。22024221222221LCLRLRs，解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值图9－1RLC串联二阶电路利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程0)0(2d)(d1)0(L210C1CCiKKttuKut将两个相等的固有频率s1=s2=-2代入式（9－8）得到)0(ee)(2221cttKKtutt得到电感电流的零输入响应)0(Ae4A)e4e2e2(dd)()(2222CCLttttuCtititttt求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应)0(V)e2e()(22Ctttutt根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图9－3所示。(a)电容电压的波形(b)电感电流的波形图9－3临界阻尼情况)0(Ae4)()()0(V)e2e()(2CL22Ctttititttuttt四、欠阻尼情况当时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数根，它们可以表示为CLR2d20jj1222221LCLRLRs，其中称为衰减谐振角频率称为谐振角频率称为衰减系数220012dLCLR齐次微分方程的解答具有下面的形式)119()cos(e)]sin()cos([e)(21CtKtKtKtuttddd式中122221arctanKKKKK由初始条件iL(0)和uC(0)确定常数K1，K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应。例9-3电路如图9-1所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。j4351222221233LCLRLRs，解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值图9－1RLC串联二阶电路利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程7)0(43d)(d)0(L210C1CCiKKttuKut求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:)0(A)74.73cos(e)]sin(24)cos(7[e04.0dd)()0(V)1.53cos(e5)]sin(4cos3[e)(cLctttttuCtitttttutttt4444443333将两个不相等的固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4代入式（9－11）得到)0(])sin(cos[e)(21CttKtKtut443用计算机程序DNAP画出的波形曲线，如图9－4(a)和(b)所示(a)衰减系数为3的电容电压的波形(b)衰减系数为3的电感电流的波形(c)衰减系数为0.5的电容电压的波形(d)衰减系数为0.5的电感电流的波形图9－4欠阻尼情况从式(9-11)和图9-4波形曲线可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。当例9－3中电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变为0.5时，用计算机程序DNAP得到的电容电压和电感电流的波形曲线，如图9－4(c)和(d)所示，由此可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。例9-4电路如图9-1所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。j551222221LCLRLRs，解：将R，L，C的量值代入式（9－4）计算出固有频率的数值图9－1RLC串联二阶电路将两个不相等的固有频率s1=j5和s2=-j5代入式（9-11）得到)0()]sin()cos([)(21cttKtKtu55利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程7)0(5d)(d3)0(L20C1CCiKttuKut求解以上两个方程得到常数K1=3和K2=1.4，得到电容电压和电感电流的零输入响应:)0(A)65cos(66.0)]cos(7)sin(15[04.0dd)()0(V)25cos(31.3)]sin(4.1)cos(3[)(CLCtttttuCtitttttu555555用计算机程序DNAP画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图9－5所示。图9－5无阻尼情况从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图9－6上。图9-6由图9－6可见：1.在过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d越大，振荡周期越小，振荡越快。图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。§9－2直流激励下RLC串联电路的响应对于图示直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以得到以下非齐次微分方程)0(ddddSCC2C2tUutuRCtuLC电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成)()()(CpChCtututu电路的固有频率为LCLRLRs122221，当电路的固有频率s1s2时，对应齐次微分方程的通解为tstsKKtu21ee)(21ch微分方程的特解为Scp)(Utu全响应为S21CpChC21ee)()()(UKKtutututsts利用以下两个初始条件Cittuut)0(d)(d),0(L0CC可以得到S21C)0(UKKu对uC(t)求导，再令t=0得到CisKsKttut)0(d)(dL22110C求解这两个代数方程，得到常数K1和K2后就可得到uC(t)。例9-5电路如图所示。已知R=4，L=1H，C=1/3F，uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求t0时，电容电压和电感电流的响应。3112342122221＝，LCLRLRs解：先计算固有频率这是两个不相等的负实根，其通解为ttKKtu321chee)(特解为V2)(cptu全响应为V2ee)()()(321CpChCttKKtututu利用初始条件得到12)0(3d)(d6V2)0(L210C21CCiKKttuKKut联立求解以上两个方程得到V8,V1221KK最后得到电容电压和电感电流的全响应)0(A)e