圆锥曲线单元测试题

..《圆锥曲线》单元测试题班级姓名学号分数第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、若双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．22、圆锥曲线y29＋x2a＋8＝1的离心率e＝12，则a的值为()A．4B．－54C．4或－54D．以上均不正确3、以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为()A.3－1B．2－3C.22D.324、已知双曲线x2a21－y2b2＝1与椭圆x2a22＋y2b2＝1的离心率互为倒数，其中a10，a2b0，那么以a1、a2、b为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5、设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝16、已知椭圆E：x2m＋y24＝1，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：y＝kx＋1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是()A．kx＋y＋k＝0B．kx－y－1＝0C．kx＋y－k＝0D．kx＋y－2＝07、过双曲线M：x2－y2b2＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是()A.52B.103C.5D.108、设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋y24＝1的交点为A、..B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为12的点P的个数为()A．1B．2C．3D．49、设F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，且E是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为()A.53B.63C.32D.3－110、如图所示，从双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系为()A．|MO|－|MT|b－aB．|MO|－|MT|＝b－aC．|MO|－|MT|b－aD．不确定11、已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．(－∞，4]C．(10，＋∞)D．(－∞，10]12、点P在曲线C：x24＋y2＝1上，若存在过P的直线交曲线C于A点，交直线l：x＝4于B点，满足|PA|＝|PB|或|PA|＝|AB|，则称点P为“H点”，那么下列结论正确的是()A．曲线C上的所有点都是“H点”B．曲线C上仅有有限个点是“H点”C．曲线C上的所有点都不是“H点”D．曲线C上有无穷多个点是“H点”题号123456789101112答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上．)13．已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足AB→·BM→＋2|AM→|＝0，则点M的轨迹方程为________．14．过点M(－2,0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为______．15．设双曲线x2－y23＝1的左右焦点分别为F1、F2，P是直线x＝4上的动点，若∠F1PF2＝θ，则θ的最大值为________．..16．直线l：x－y＝0与椭圆x22＋y2＝1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17、已知A(－2,0)、B(2,0)，点C、点D满足|AC→|＝2，AD→＝12(AB→＋AC→)．(1)求点D的轨迹E的方程；(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆G于M、N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与轨迹E相切，求椭圆G的方程．18、设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，过原点O斜率为1的直线与椭圆C相交于M，N两点，椭圆右焦点F到直线l的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆上异于M，N外的一点，当直线PM，PN的斜率存在且不为零时，记直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，试探究k1·k2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．19、过点M(1,1)作直线与抛物线x2＝2y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P.(1)求点P的轨迹方程；(2)求△ABP的面积的最小值．..20、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．21、如图，在由圆O：x2＋y2＝1和椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为63，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得OA→·OB→＝12OM→2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．22、已知椭圆的两个焦点F1(－3，0)，F2(3，0)，过F1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF2的周长等于8.(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,0)，使PE→·QE→恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．..《圆锥曲线》单元测试题答案一、选择题：题号123456789101112答案ACABBDDBABDD二、填空题：13、x22＋y2＝114、－1215、30°16、三、解答题：17、[解析](1)设C、D点坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC→＝(x0＋2，y0)，AB→＝(4,0)，则AB→＋AC→＝(x0＋6，y0)，故AD→＝12(AB→＋AC→)＝x02＋3，y02.又AD→＝(x＋2，y)，故x02＋3＝x＋2，y02＝y.解得x0＝2x－2，y0＝2y.代入|AC→|＝(x0＋2)2＋y20＝2得x2＋y2＝1，即为所求点D的轨迹E的方程．(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y＝k(x＋2)①又设椭圆方程为x2a2＋y2a2－4＝1(a24)②因为直线l与圆x2＋y2＝1相切，故|2k|k2＋1＝1，解得k2＝13.将①代入②整理得(a2k2＋a2－4)x2＋4a2k2x＋4a2k2－a4＋4a2＝0，而k2＝13，即(a2－3)x2＋a2x－34a4＋4a2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－a2a2－3...由题意有a2a2－3＝2×45，求得a2＝8.经检验，此时Δ0.故所求的椭圆方程为x28＋y24＝1.18、[解析](1)设椭圆的焦距为2c(c0)，焦点F(c,0)，直线l：x－y＝0，F到l的距离为|c|2＝2，解得c＝2，又∵e＝ca＝22，∴a＝22，∴b＝2.∴椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)由x28＋y24＝1，y＝x，解得x＝y＝263，或x＝y＝－263，不妨设M263，263，N－263，－263，P(x，y)，∴kPM·kPN＝y－263x－263·y＋263x＋263＝y2－83x2－83，由x28＋y24＝1，即x2＝8－2y2，代入化简得k1·k2＝kPM·kPN＝－12为定值．19、[解析](1)设直线AB方程为y＝k(x－1)＋1，代入x2＝2y中得，x2－2kx＋2k－2＝0其中Δ＝(－2k)2－4(2k－2)＝4[(k－1)2＋1]0记Ax1，x212，Bx2，x222，则x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－2.对y＝x22求导得，y′＝x则切线PA的方程为y＝x1(x－x1)＋x212，即y＝x1x－x212①同理，切线PB的方程为y＝x2x－x222②由①、②两式得点P的坐标为x1＋x22，x1x22，于是得P(k，k－1)，设P(x，y)，则x＝ky＝k－1，..消去参数k，得点P的轨迹方程为x－y－1＝0.(2)由(1)知|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋k2)(k2－2k＋2).点P到直线AB的距离d＝|k(k－1)＋1－(k－1)|1＋k2＝k2－2k＋21＋k2△ABC的面积S＝12|AB|·d＝(k2－2k＋2)32＝[(k－1)2＋1]32.当k＝1时，S有最小值1.20、[解析](1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由x2＋3y2＝4，y＝－x＋n得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋640，解得－433n433.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝n2，所以AC的中点坐标为3n4，n4.由四边形ABCD为菱形可知，点3n4，n4在直线y＝x＋1上，所以n4＝3n4＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝32|AC|2...由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16)－433n433.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值43.21、[解析](1)∵e＝ca＝63，c2＝a2－1，∴23＝a2－1a2，解得：a2＝3，所以所求椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)假设存在直线l，使得OA→·OB→＝12OM→2易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y＝kx＋b，由直线l与圆O相切可得，b2＝k2＋1①把直线y＝kx＋b代入椭圆C：x23＋y2＝1中，整理得：(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0则x1＋x2＝－6kb1＋3k2，x1·x2＝3b2－31＋3k2，OA→·OB→＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝(1＋k2)x1·x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝(1＋k2)3b2－31＋3k2＋6k2b21＋3k2＋b2＝4b2－3k2－31＋3k2＝12②由①②两式得k2＝1，b2＝2，故存在直线l，其方程为y＝±x±2.22、[解析](1)由题意知c＝3，4a＝8，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，由x24＋y2＝1y＝k(x－1)消去y得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1＋x2＝8k24k2＋1，x1x2＝4k2－44k2＋1，则PE→＝(m－x1，－y1)，QE→＝(m－x2，－y2)，∴PE→·QE→＝(m－x1)(m－x2)＋y1y2＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2..＝m2－m(x1＋x2)＋x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝m2－8k2