解析几何的最值

1解析几何的最值求解策略湖南省武陵源一中高飞(高级教师)邮编：427400电话：解析几何最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点。解析几何最值有两类:一类是利用曲线的几何定义或问题的几何背景，先确定几何上达到最值的位置，再计算；另一类是通过建立目标函数，转化为函数最值求解。本文举例探求解析几何最值问题的求解策略一利用曲线的几何定义或问题的几何背景例1(辽宁卷)已知F是双曲线112422yx的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，求|PF|+|PA|的最小值。解析:设右焦点为F，由题设知F坐标(4，0)，根据双曲线的定义，|PF|-|PF|=4，所以|PF|+|PA|=4+|PF|+|PA|，由题设知要使|PF|+|PA|最小，只需|PF|+|PA|最小即可，|PF|+|PA|最小只需P,F,A三点共线，最小值即4+|FA|=4+954169。点评：本题考查了解析几何的最值问题，关键是要运用双曲线的定义将P到左焦点距离转化为P到右焦点距离解决。例2(四川卷)已知直线1l:0634yx和直线2l:1x，求抛物线xy42上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值解析:动点P到直线2l:1x的距离可转化为P，F的距离，作图可知距离之和的最小值即F到直线1l的距离2223464d练习，已知动点yxP,在椭圆1162522yx上，若A点坐标为(3，0)，1AM，且0AMPM，求PM的最小值解析；由条件可知点M轨迹是以A为园心，1为半径的圆，又0AMPM所以AMPM所以12222PAAMPAPM问题转化为求PA的最小值，因为yxP,在椭圆上。则cacaPF,即2PA则PM的最小值为3。例3(广东卷)已知曲线C：2xy与直线02:yxl交于两点A,B，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D，若曲线G：x2-2ax+y2-4y+a2+2551=0与D有公共点，试求a的最小值解析:由x2-2ax+y2-4y+a2+2551=0整理得254922)2()(yax曲线G表示以点(a,2)为圆心，半径为57的圆，即圆心是直线y=2上的一动点，作图分析知，曲线G与D有公共点且2a取最小值时，圆G应与直线02:yxl相切且a2,57112222a且a2257a即曲线G与D有公共点时a的最小值为257。点评：本题关键在于找出a取最小值时圆G的位置。二，通过建立目标函数，转化为函数最值求解例4设椭圆1212ymx的左，右焦点分别是F1（-c,0）,F2（c,0）若E是直线2xy与椭圆的一个公共点，求使得|EF1|+|EF2|取最小值时椭圆的方程。解由题意，知m+11即m0,把2xy代入1212ymx得0131422mxmxm。由12121162mmm=0214mm，解得2m或1m(舍去)2m此时|EF1|+|EF2|=3212m当且仅当m=2时|EF1|+|EF2|取得最小值32此时椭圆方程为1232yx。解析几何最值问题要根据题设条件建立等量与不等关系，再运用函数，方程，不等式等知识求得最值，关键是不等关系的确定。例5已知椭圆C:13422yx，⑴设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围；⑵若经过椭圆右焦点作直线l交椭圆于A,B两点，求1ABF面积的最大值。解⑴设点P(x,y)为椭圆上的动点则22x，|MP|2=22)(mxy42213)(xmx=322241mmxx33)4(2241mmx因为当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=2时|MP|2取得最小值，而22x故有2124mm又点M在椭圆C的长轴上即22m故实数m的取值范围是2,21m。⑵设直线AB的方程为1myxRm把1myx代入13422yx得0964322myym①显然0设A11,yx，B22,yx则21212yyS21yy又因为21yy4362mm，21yy4392m，221)(yy4)(221yy21yy=48222)43(33mm令233mt则,3t221)(yytt148由于函数tty1在,3上单调递增，所以3101tt故9)(221yy即3S故1ABF面积的最大值等于3.解析几何的最值求解离不开目标函数的建立，因目标函数引入变量的背景不同，求法也不同，具体求最值可用到配方法，不等式法等。3例6（福建卷）抛物线y2=4x上两点A，B满足||||OBOAOBOA求AB的中点C到直线02:yxl的距离最小值解由题设知OAOB点C的坐标为（),222121yyxx设C到直线02:yxl的距离为d则521221yyxxd521222181yyyy58821221yyyy58164221yy所以，当421yy时d取最小值552点评：本题为点到直线的距离最值，注意坐标特征和配方法的运用例7(全国竞赛题)在平面直角坐标系中，已知点A（21，0），点B在直线L：x=-21上运动，过点B与L垂直的直线和AB的中垂线相交于点M。（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：1)1(22yx内切于PRN，求PRN的面积的最小值。解，（Ⅰ）设M(x,y)，由题设知|MB|=|MA|，所以动点M的轨迹E是以A（21，0）为焦点，以x=-21为准线的抛物线，其方程为xy22（Ⅱ）设P(x0,y0)，R（0，b）,N(0,c),且bc,故直线PR的方程为0000bxyxxby，由题设知圆心(1，0)到直线PR的距离为1，即1202000xbybxby注意到20x化简上式得0220020xbybx，同理可得0220020xcycx由上可知b,c为方程0220020xxyxx的两根，根据求根公式可得b-c=2844002020xxyx=2200xx故PRN的面积为S=021xcb2020xx=20x+842242402400xxx,当且仅当x0=4时等号成立此时点P的坐标为(4，22)或(4，-22)所以PRN的面积的最小值为8.点评:本题主要考查直线，圆，抛物线，函数等基础知识，同时考查运算能力以及分析问题和解决问题的能力，利用方程思想建立面积函数，然后用基本不等式求最值。例7(陕西卷)点P是双曲线1242xy上一点，点A,B在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一，二象限，若2,,31PBAP求AOB面积的最值解析:因为双曲线的两条渐近线方程为xy2，可设点A(m,2m),B(-n,2n),m,n0,由PBAP得P121,nmnm，将点P坐标代入1242xy化简得412mn设4542122sin,tan,2tan,2AOB又nOBmOA5,5所以AOBS=122sin12121mnOBOA,2,31,S1121在1,31上单调递减,在2,1上单调递增,所以当31时,AOB面积取得最大值38当1时,AOB面积取得最小值2.例8(浙江卷)设点A是椭圆C1:1242xy的右顶点，点P在抛物线C2：y=x2+h)(Rh上，C2在点P处的切线与C1交于点M,N，当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值。分析:设点P的横坐标为t，利用线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等，建立变量h与t的关系，再用函数与方程思想求h的最小值。解析:设点M11,yx，N22,yx,P（htt2,）则抛物线在点P处的切线即直线MN的方程为httxy22将httxy22代入椭圆C1的方程得0424222httxx，即,0441422222htxhttxt直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以有0422162241htht设MN的中点的横坐标为x3则x3=2221122thttxx。设线段PA中点的横坐标为x4因为点A(1，0)则214tx。由题意得x3=x4则有112tht=0于是104122hh或3h，当3h时有04,022hh从而01不符合要求，因此1h。此时01成立，故h的最小值为1点评:由112tht=0得11tth由于自变量t的取值范围不易求得，所以不宜用函数法求h的最小值，因此采用不等式先求得h的取值范围，再确定其最小值。举例9已知抛物线x2=4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点处的切线交于点M。(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列；(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点，求四边形ABCD面积的最小值。分析:利用垂直关系建立面积关于k的函数，然后运用均值不等式求最值。解析:(1)由已知，得F（0，1），显然直线AB的斜率存在且不为0，则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A11,yx，B22,yx,由142kxyyx，消去y，得x2-4kx-4=0,显然=16k2+160.x1+x2=4k,x1x2=-4,由x2=4y，得y=41x2,y=21x,直线AM的斜率为kAM=21x1.直线AM的方程为y-y1=21x1(x-x1),又x12=4y1,直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①同理，直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②由②-①并据x1≠x2，得，点M的横坐标x=21(x1+x2).5即A,M,B三点的横坐标成等差数列。（2）由①②易得y=-1,点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).kMF=kk122,则直线MF的方程为y=k1x+1,又|AB|=21k212214xxxx=4(k2+1).用k1代换k得|CD|=211k212214xxxx=4(21k+1),kMFkAB=-1,AB⊥CD.SABCD=21|AB||CD|=8(21k+1)(k2+1)=8(k2+21k+2)≥32,当且仅当k=±1时取等号,所以四边形ABCD面积的最小值我32.点评:本题综合考查了导数应用，弦长求法，直线与抛物线的位置关系，四边形面积，函数最值求法等知识。综合运用知识解题能力。