不可压缩流体动力学基础

不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xyxux2，yxyuy522。求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。解：（1）线变形速度：yxxuxx254xyyuyy角变形速度：xyyuxuxyz222121旋转角速度：xyxuxuxyz222121将点（1，-1）代入可得流体微团的1x，1y；23/z；21/z2．已知有旋流动的速度场为322yux，xzuy32，yxuz32。试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。解：旋转角速度：2121zuyuyzx2121xuzuzxy2121yuxuxyz角变形速度：2521zuyuyzx2521xuzuzxy2521yuxuxyz由zyxdzdydx积分得涡线的方程为：1cxy，2cxz3．已知有旋流动的速度场为22zycux，0yu，0zu，式中c为常数，试求流场的涡量及涡线方程。解：流场的涡量为：0zuyuyzx22zyczxuzuzxy22zycyyuxuxyz旋转角速度分别为：0x222zyczy222zycyz则涡线的方程为：cdzdyzy即cydzzdy可得涡线的方程为：ccy224．求沿封闭曲线222byx,0z的速度环量。（1）Axux，0yu；（2）Ayux，0yu；（3）0yu，rAu。其中A为常数。解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z=0的平面上的圆周线。在z=0的平面上速度分布为：Axux，0yu涡量分布为：0z根据斯托克斯定理得：0zAzsdA（2）涡量分布为：Az根据斯托克斯定理得：2bAdAzAzs（3）由于0ru，rAu则转化为直角坐标为：22bAyyrAux，2bAxuy则22bAyuxuxyz根据斯托克斯定理得：AdAzAzs25．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？答：不可压缩流体连续性方程直角坐标：0zuyuxuzyx（1）柱面坐标：0zurururuzrr（2）（1）0,,zyxukyukxu代入（1）满足（2）yxuxzuzyuzyx,,代入（1）满足（3）0),(),(2222zyxuyxkuyxyxku代入（1）不满足（4）0,sin,sinzyxuxykuxyku代入（1）不满足（5）0,,0zrukruu代入（2）满足（6）0,0,zruurku代入（2）满足（7）0,sin2,cossin22zrururu代入（2）满足6．已知流场的速度分布为yxux2，yuy3，22zuz。求（3，1，2）点上流体质点的加速度。解：yxyxxyxyyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxx22322320320yzuuyuuxuutuayzyyyxyy928zzuuyuuxuutuazzzyzxzz将质点（3，1，2）代入ax、ay、az中分别得：27xa，9ya，64za7．已知平面流场的速度分布为2224yxytux，222yxxuy。求0t时，在（1，1）点上流体质点的加速度。解：2222222222222420222244yxyyxyxxyxyxyxytyuuxuutuaxyxxxx当0t时，2222222222284yxyxxyxxyax将（1，1）代入得3xa22222222222224242240yxxyyxxyxxyxyxytyuuxuutuayyyxyy当t=0时，将（1，1）代入得：1ya8．设两平板之间的距离为2h，平板长宽皆为无限大，如图所示。试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。解：z方向速度与时间无关，质量力：gfx运动方程：z方向：2210dxudzpx方向：xpg10积分：)(zfgxp∴p对z的偏导与x无关，z方向的运动方程可写为zpdyud122积分：21221CxCxzpu边界条件：hx，0u得：01C，221hzpC∴22)(12hxzphu9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为sinybyu222；（2）单位宽度上的流量为sin33bq。解：x方向速度与时间无关，质量力singfx，cosgfy运动方程：x方向：221sin0dyudxpg①y方向：ypg1cos0②②积分)(cosxfgypbyapp)(cosxfgba∴cos)(yhgppa∵b常数∴p与x无关①可变为sin22gdyud积分)21(sin212CyCygu边界条件：0y，0u；by，0dydu∴bC1，02C∴sin)2(2)2(2sin2ybyrybygusin3sin)2(23200bdyybyudyQbb10.描绘出下列流速场解：流线方程：yxudyudx（a）4xu，3yu，代入流线方程，积分：cxy43直线族（b）4xu，xuy3，代入流线方程，积分：cxy283抛物线族（c）yux4，0yu，代入流线方程，积分：cy直线族（d）yux4，3yu，代入流线方程，积分：cyx232抛物线族（e）yux4，xuy3，代入流线方程，积分：cyx2243椭圆族（f）yux4，xuy4，代入流线方程，积分：cyx22双曲线族（g）yux4，xuy4，代入流线方程，积分：cyx22同心圆（h）4xu，0yu，代入流线方程，积分：cy直线族（i）4xu，xuy4，代入流线方程，积分：cxy22抛物线族（j）xux4，0yu，代入流线方程，积分：cy直线族（k）xyux4，0yu，代入流线方程，积分：cy直线族（l）rcur，0u，由换算公式：sincosuuurx，cossinuuury220yxcxrxrcux，220yxcyryrcuy代入流线方程积分：cyx直线族（m）0ru，rcu，220yxcyrxrcux，220yxcxrxrcuy代入流线方程积分：cyx22同心圆11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？解：无旋流有：xuyuyx（或rruur）（a），（f），（h），（j），（l），（m）为无旋流动，其余的为有旋流动对有旋流动，旋转角速度：)(21yuxuxy（b）23（c）2（d）2（e）27（g）4（i）2（k）x212.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。解：势函数dyudxuyx流函数dxudyuyx（a）yxdydx3434yxdxdy4334（e）yyxxxdydxyxdyydx0034340取),(00yx为)0,0(则积分路线可选其中0,0:0,0,0ydyxxxdxyxx,0:,0,)34()30(0000yyxxxdyydxxdydxxyxy3)30()00(2223234xyxdxydy其他各题略13.流速场为rcuuar,0)(，ruubr2,0)(时，求半径为1r和2r的两流线间流量的表达式。解：ddQdrurdurrcdrrcaln)(∴211212ln)ln(lnrrcrcrcQ2)(222rrdrb∴)(22221212rrQ14.流速场的流函数是323yyx。它是否是无旋流动？如果不是，计算它的旋转角速度。证明任一点的流速只取决于它对原点的距离。绘流线2。解：xyx6yx6222233yxyyy622∴22x022y是无旋流2233yxyuxxyxuy6∴222223)(3ryxuuuyx即任一点的流速只取决于它对原点的距离流线2即2332yyx用描点法：2)3(222yxy23,223,21,11,1xyxyxyxy（图略）15.确定半无限物体的轮廓线，需要哪些量来决定流函数。要改变物体的宽度，需要变动哪些量。以某一水平流动设计的绕流流速场，当水平流动的流速变化时，流函数是否变化？解：需要水平流速0v，半无限物体的迎来流方向的截面A，由这两个参数可得流量AvQ0。改变物体宽度，就改变了流量。当水平流速变化时，也变化xyarctgQyv2016.确定朗金椭圆的轮廓线主要取决于哪些量？试根据指定长度ml2，指定宽度mb5.0，设计朗金椭圆的轮廓线。解：需要水平流速0v，一对强度相等的源和汇的位置a以及流量Q。)(20axyarctgaxyarctgQyv驻点在2,0lxy处，由5.0,2bl得椭圆轮廓方程：1)25.0(1222yx即：11622yx17.确定绕圆柱流场的轮廓线，主要取决于哪些量？已知mR2，求流函数和势函数。解：需要流速0v，柱体半径Rsin)(20rRrv∵2R∴sin)4(0rrvcos)(20rRrv∵2R∴cos)(20rRrv18.等强度的两源流，位于距原点为a的x轴上，求流函数。并确定驻点位置。如果此流速场和流函数为vy的流速场相叠加，绘出流线，并确定驻点位置。解：叠加前)(2axyarctgaxyarctgQ))()((22222axyaxaxyaxQyux))()((22222axyyaxyyQxuy当0x)(22ayQyuy0xu0y)11(2axaxQux0yu∴驻点位置)0,0(叠加后)(2axyarctgaxyarctgQvy流速为零的条件：0)(2)(20axQaxQvyuyx解得：22)2(21vaQQvx即驻点坐标：0,)2(2122vaQQv0,)2(2122vaQQv19.强度同为sm/602的源流和汇流位于x轴，各距原点为ma3。计算坐标原点的流速。计算通过)4,0(点的流线的流函数值，并求该点流速。解：)(2axyarctgaxyarctgQsmaxaxyaxaxyQyuaQy