数值分析第五章学习小结【计算方法】

第五章最小二乘法与曲线拟合小结一、本章知识梳理1、从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)(i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0，1，…，m)的整体大小。数据拟合的具体作法是：对给定数据(i=0,1,…，m)，在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即从几何意义上讲，就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。2、多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得(2)即(3)（3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为(4)式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从式（4）中解出(k=0,1,…，n)，从而可得多项式(5)可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步：(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n；(2)列表计算和；(3)写出正规方程组，求出；(4)写出拟合多项式。在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。3、曲线拟合：曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。定义：若曲线**0()()njjjyxcx使得：22*0000()min()mnmnjjiijjiiijijcxycxy成立，则称曲线*()yx为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。注意：不能要求曲线y（x）通过数据的所有点。二、本章思考题函数逼近与曲线拟合有什么异同？答：相同点：函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的，都是用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数，以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。不同点：曲线拟合是已知一组离散数据，选择一个较简单的函数，是在一定准则（如最小二乘准则）下，最接近这组数据。而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数，要选一个较简单的函数，在一定准则下接近原函数。三、本章测验题在区间[-1，1]上给定函数122)(23xxxxf，求其在2,,1xxSpan中关于权函数1)(x的最佳平方逼近多项式。解：设2001122()()()()PxCLxCLxCLx取Legerdre多项式201231()1,(),()22LxLxxLxx作为基函数113200111112(,)()(221)2223CfLfxdxxxxdx11113316(,)()225CfLxfxdx1132222211555312(,)()()(221)()222223CfLfxLxdxxxxxdx所以22221623116()()1353225Pxxxxx四、本章学习体会本章主要介绍了最小二乘法，最小二乘多项式，非线性曲线拟合知识；本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法，针对一组实验数据采用最小二乘原则，以计算的最小二乘偏差为最小目标，给出最终的近似拟合多项式，最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法；函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值，能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。通过本章的知识学习与掌握，对以后的工作学习有着巨大的帮助。