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当前位置:首页 > 办公文档 > 会议纪要 > 数值分析第五章学习小结【计算方法】
第五章最小二乘法与曲线拟合小结一、本章知识梳理1、从整体上考虑近似函数同所给数据点(i=0,1,…,m)误差(i=0,1,…,m)(i=0,1,…,m)绝对值的最大值,即误差向量的∞—范数;二是误差绝对值的和,即误差向量r的1—范数;三是误差平方和的算术平方根,即误差向量r的2—范数;前两种方法简单、自然,但不便于微分运算,后一种方法相当于考虑2—范数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差(i=0,1,…,m)的整体大小。数据拟合的具体作法是:对给定数据(i=0,1,…,m),在取定的函数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小,即从几何意义上讲,就是寻求与给定点(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线(图6-1)。函数称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。2、多项式拟合假设给定数据点(i=0,1,…,m),为所有次数不超过的多项式构成的函数类,现求一,使得(1)当拟合函数为多项式时,称为多项式拟合,满足式(1)的称为最小二乘拟合多项式。特别地,当n=1时,称为线性拟合或直线拟合。显然为的多元函数,因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件,得(2)即(3)(3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为(4)式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明,方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解。从式(4)中解出(k=0,1,…,n),从而可得多项式(5)可以证明,式(5)中的满足式(1),即为所求的拟合多项式。我们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差,记作由式(2)可得(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步:(1)由已知数据画出函数粗略的图形——散点图,确定拟合多项式的次数n;(2)列表计算和;(3)写出正规方程组,求出;(4)写出拟合多项式。在实际应用中,或;当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。3、曲线拟合:曲线拟合,即把一组数据拟合为曲线,需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。定义:若曲线**0()()njjjyxcx使得:22*0000()min()mnmnjjiijjiiijijcxycxy成立,则称曲线*()yx为在曲线族中按最小二乘法原则确定的对于数据的拟合曲线。注意:不能要求曲线y(x)通过数据的所有点。二、本章思考题函数逼近与曲线拟合有什么异同?答:相同点:函数逼近与曲线拟合的基本思想是相同的,都是用某个简单函数在满足一定条件下,在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者表达式未给出的函数,以便简化对后者的各种计算或揭示后者的某种性质。不同点:曲线拟合是已知一组离散数据,选择一个较简单的函数,是在一定准则(如最小二乘准则)下,最接近这组数据。而函数逼近是已知一个较为复杂的连续函数,要选一个较简单的函数,在一定准则下接近原函数。三、本章测验题在区间[-1,1]上给定函数122)(23xxxxf,求其在2,,1xxSpan中关于权函数1)(x的最佳平方逼近多项式。解:设2001122()()()()PxCLxCLxCLx取Legerdre多项式201231()1,(),()22LxLxxLxx作为基函数113200111112(,)()(221)2223CfLfxdxxxxdx11113316(,)()225CfLxfxdx1132222211555312(,)()()(221)()222223CfLfxLxdxxxxxdx所以22221623116()()1353225Pxxxxx四、本章学习体会本章主要介绍了最小二乘法,最小二乘多项式,非线性曲线拟合知识;本章侧重介绍了用多项式作最小二乘曲线拟合的方法,针对一组实验数据采用最小二乘原则,以计算的最小二乘偏差为最小目标,给出最终的近似拟合多项式,最后本章介绍了非线性曲线拟合的思想方法;函数的拟合可以在某个范围内近似计算出所求的函数值,能简化我们在工程上或者数学上的一些问题。通过本章的知识学习与掌握,对以后的工作学习有着巨大的帮助。
本文标题:数值分析第五章学习小结【计算方法】
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