函数奇偶性经典讲义---新

-1-Ⅰ复习提问（一）奇偶函数的定义奇函数偶函数代数定义fxfx恒成立fxfx恒成立几何定义图像关于原点对称且00f图像关于y轴对称备注定义域关于原点对称是判断奇偶函数的前提，函数奇偶性是函数的整体性质。（二）、函数按奇偶分类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶）（三）、奇偶函数的性质：1、奇函数的反函数也是奇函数2、奇偶函数的加减：奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除：同偶异奇3、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。4、定义在R上的任意函数fx都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和22fxfxfxfxfx奇偶（四）、函数奇偶性的做题方法与步骤。第一步，判断函数的定义域是否关于原点对称；第二步，求出fx的表达式；第三步，比较fxfx与的关系fxfxfxfx与相等，函数为偶与互为相反数，函数为奇函数Ⅱ题型与方法归纳题型与方法0,0,020,===fxfxfxfx则是奇函数定义法：1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。一、判定奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1)21fxxx2）112logxxfx3）2211fxxx4）22fxxx5）2211021102xxfxxx奇奇偶偶性性部部分分-2-解：1）fx的定义域为R，2211fxxxxxfx所以原函数为偶函数。2）fx的定义域为11xx0即11x，关于原点对称111122loglogxxxxfx21log1xfxx，所以原函数为奇函数。3）fx的定义域为221010xx即1x，关于原点对称，又110ff即1111ffff且，所以原函数既是奇函数又是偶函数。4）fx的定义域为2020xx即2x，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。5）分段函数fx的定义域为,00,关于原点对称，当0x时，0x，222111111222fxxxxfx当0x时，0x，222111111222fxxxxfx综上所述，在,00,上总有fxfx所以原函数为奇函数。注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对x在各个区间上分别讨论，应注意由x的取值范围确定应用相应的函数表达式。练习1：判断下列函数的奇偶性1）2616xxfxxx2）2222xfxx3）2233fxxx4）22fxxx5）2200xxxfxxxx二、利用奇偶性求函数解析式：例2：设fx是R上是奇函数，且当0,x时31fxxx，求fx在R上的解析式解：当0,x时有31fxxx，设,0x，则0,x，从而有3311fxxxxx，fx是R上是奇函数，fxfx-3-所以31fxfxxx，因此所求函数的解析式为331010xxxfxxxx注意：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。练习2：已知yfx为奇函数，当0x时，22fxxx，求fx的表达式。练习3、已知fx为奇函数，gx为偶函数，且xfxgxe，求函数fx的表达式。例3：设函数fx是定义域R上的偶函数，且图像关于2x对称，已知[2,2]x时，21fxx求6,2x时fx的表达式。解：图像关于2x对称，22fxfx，22fxfx=4[4]4fxfxfx4fxfx4T6,2x42,2x2441fxxfx所以6,2x时fx的表达式为fx=241x练习3：已知函数fx为奇函数，当0x时，223fxxx，求fx的表达式。例4：已知函数538fxxaxbx且210f，求2f的值解：令53gxxaxbx，则8fxgx22810218fgggx为奇函数，2218218ggg22818826fg-4-练习4：已知函数7534fxaxbxcxdx且39f，求3f的值。例5：定义在R上的偶函数fx在区间,0上单调递增，且有2221321faafaa求a的取值范围。解：2217212048aaa，22123213033aaa，且fx为偶函数，且在区间,0单调递增，fx在区间0,上为减函数，221aa2321a03a所以a的取值范围是0,3。点评：利用函数的奇偶性及单调性，将函数值之间的大小关系转换为自变量的大小关系，从而应用不等式有关知识求解.练习5：定义在1,1上的奇函数fx为减函数，且2110fafa，求实数a的取值范围。练习6：定义在2,2上的偶函数gx，当0x时，gx为减函数，若1gmgm成立，求m的取值范围。三、抽象函数奇偶性的判断解题方法与步骤：（1）设/令（2）求值（3）判断对任意的,xy，均有fxyxfyyfx，是判断函数奇偶性。解：设y=-1，则1fxxffx。令x=y=-1,1112ff,令x=y=1，10f,所以fxfx，fx是奇函数。-5-练习1、已知2,fxyfxyfxfy且00f，判断函数fx的奇偶性。练习2、fxyfxfy，,xyR，判断函数的奇偶性。趁热打铁1、判断下列函数的奇偶性.(1)59xxy；(2))1(log2xxya；(3)2xxeey；(4)2xxeey2、设函数)(xf定义在],[aa上，证明：(1))()(xfxf为偶函数；(2))()(xfxf为奇函数.3、若函数fx在区间33,2aa上是奇函数，则a=()A.-3或1B.3或-1C.1D.-34、已知函数2334xfxx，则它是（）A奇函数B偶函数C即是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数5.,,xyRfxyfxfy,判断fx的奇偶性。温故知新1．判断下列函数的奇偶性-6-2412;2sincos;13sincos;4ln.1yxxyxxxyxxyx（5）213fxxx（6）100010xxfxxxx2.已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)()fxfx,且在区间[0,2]上是增函数,则().A.(25)(11)(80)fffB.(80)(11)(25)fffC.(11)(80)(25)fffD.(25)(80)(11)fff3.已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．24.函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则()(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)()(2)fxfx(D)(3)fx是奇函数5、已知函数1()21xfxa.（1）求证：不论a为何实数()fx总是为增函数；（2）确定a的值，使()fx为奇函数；（3）当()fx为奇函数时，求()fx的值域。-7-6、函数fx是定义域为R的偶函数，且对任意的xR，均有2fxfx成立。当0,1x时，log2,1afxxa（1）当21,21()xkkkZ时，求fx的表达式；（2）若fx的最大值为12，解关于x的不等式14fx。例1.判断下列函数的奇偶性（1）xxxxf22)2()(（2）)22(,22)2()(xxxxxf（3）)1ln()(2xxxf（4）xxxf11lg)(例1判断函数(x)=3x2,x的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数的奇偶性。判断函数例2．已知)0(),21121()(xxxfx（1）判断f(x)的奇偶性。（2）证明f(x)0.1．已知奇偶性求值例.（1）已知|||1|)(axxxf是奇函数，则.______2010a（2）若xaxxxf))(1()(是奇函数，则a=________.（3）已知函数)0)(21212()(2xaaxxfx是偶函数，则a=________-8-1.判断下列函数的奇偶性：（1）1()fxxx（2）21()22xfxx（3）()2121fxxx（4）11()212xfx（5）1()11xfxxx（6）y()xaaR（7）2240()40xxxxfxxxxx2．若2()233fxkxkx是偶函数，则()fx的递减区间是3.已知53()8fxxaxbx，且(2)10f，则(2)f等于（）()26()18()10()10ABCD4．已知函数()fx是定义R在上的奇函数，且当0x时，2()1fxxx，求()fx的解析式.5．设()fx为偶函数，()gx是奇函数，且1()()1fxgxx，求()fx、()gx的解析式.6．函数()0yfxx是奇函数，且当0,x时是增函数，若(1)0f，求不等式102fxx的解集.7．定义在1,1上的偶函数()fx，当0x时，()fx为增函数，若(1)(2)fmfm成立，求m的取值范围.8.已知函数2()3fxaxbxab为偶函数，其定义域是1,2aa，求()fx的值域9．已知函数2()1axbfxx是定义在(1,1)上的奇函数，且12()25f（1）确定函数()fx的解析式；(2)用定义()fx证明在(1,1)上是增函数（3）解不等式(1)()0ftft.高考题练习-9-10.（07广东文3）若函数3()()fxxxR，则函数()yfx在其定义域上是（）．A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数11.（10安徽理4）若fx是R上周期为5的奇函数，且满足11,22ff，则34ff（）．A．B．C．D．12.（10广东文3）若函数33xxfx与3