中考圆形综合题型考点分析

中考圆形综合题型考点分析一、主要考试知识点1、求特殊角度（难度系数：★★★）2、证明相等的角（难度系数：★★★）3、证明相似三角形（难度系数：★★★★）4、证明相等线段（难度系数：★★★★）5、证明线段乘积、比例关系（难度系数：★★★★）6、求线段（或图形面积）比值（难度系数：★★★★★）7、求一些角度的三角函数值（实质上线段的比值）（难度系数：★★★★★）8、求特殊线段的长（难度系数：★★★★★）9、求图形面积（难度系数：★★★★★）10、求几何图形之间的函数解析式（难度系数：★★★★★★）二、解题思路分析1、注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用）分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。2、注意圆心角与圆周角的使用分析：对于圆心角和圆周角的2倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。3、注意一些特殊角度的运用分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15°、30°、45°、60°、120°、150°等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。4、直径对直角的运用分析：一般直径常连接90°的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特殊角度（30°、45°、60°）使用，能使计算更为便捷。5、垂径定理的运用分析：对于直径上作垂线（或高），特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会产生相等的弦，进而出现相等的角。6、切线与直径的关系的运用分析：说起切线，一定要连接接切点和圆，这样便会产生垂直，进而产生直角三角形，从而使思考简化。7、全等三角形的运用分析：通过圆的对称性（轴对称、中心对称）、垂径定理、切线长定理思考图中全等三角形8、相似三角形的运用分析：俗话说：“圆内盛产相似”。通过寻找相等的角，产生相似三角形，为成比例具备条件。特别是要注意圆内四点共圆（蝴蝶形）产生的几组相似。寻找相等的角可以考虑：（1）、是否有相等的弧、弦、弦心距等（2）、是否有弦切角（弦切角=其所夹的弧所对的圆周角）（3）、是否有四点共圆（对角互补，外角=内对角）（4）、两条相交弦产生的相似（圆幂定理-------相交弦定理）（5）、切线和割线产生的相似（圆幂定理-------切割线定理）（6）、两条割线产生的相似（圆幂定理-------割线定理）9、射影定理的使用分析：在圆内常出现直径上作高的情况，这样射影定理便可以直接运用了，省去了相似的步骤。射影定理中的“知二求四”特别是在计算一些直径上的线段时非常方便。10、弦切角定理的使用分析：圆中有切线时，除了考虑垂直关系外，也要特别关注弦切角与圆周角的相等关系。使用弦切角定理能够省去一些等量代换求角相等的步骤。11、切割线、割线定理的使用（实质上也是相似三角形的推广）分析：对于圆中即有切线又有割线的情况，特别要考虑切割线、割线定理定理。这是计算圆中线段中必不可少的方法之一。直接运用切割线定理、割线定理比使用相似来分析要节省思考时间和空间。12、勾股定理的使用分析：当圆中出现垂直，特别是不与直径垂直的情况时（与直径垂直时常用垂径定理），常考虑勾股定理的运用，结合一些特殊角度，能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉，在计算圆中线段的长中有非常重要的作用。13、连心线与公共弦的运用分析：当有两圆相交时，公共弦和连心线是必不可少的思考方向。这两条特殊线段包含着两种特殊关系，即垂直又平分（位置关系：垂直数量关系：平分），往往成为解题的入手点。14、余弦定理的使用（实质上是勾股定理的推广）分析：在计算圆中线段时，有时使用余弦定理比较方便，特别是知道两边和夹角，求第三边时常用这种方法（不管夹角是否为直角）。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是直接使用也能节约思考的时间和空间（既使计算过程有些繁杂）。只是余弦定理公式较为复杂而已（复习一下：Abccbacos2222，注意：钝角的余弦值为负数）。15、角平线成比例的运用（实质上也是相似三角形的推广）分析：圆中经常会出现相等的角，有时还会有角平分线。此时用角平分线成比例定理可以使思考简化，在计算线段中收到意想不到的效果16、不规则面积的综合加减计算分析：圆中经常会出一些图形面积的计算。有的可以直接求（常用的面积公式：①底高②底高2③对角线乘积的一半④上下底和的一半高⑤中位线高⑥两边与夹角正弦乘积的一半⑦周长一半与内切圆半径之积（圆面积为：r2）⑧边长的平方⑨长宽⑩水平宽度与竖直高度乘积的一半等），有的只能间接求，用其他图形的面积的和与差来计算。如：总面积—部分面积，或几部分面积的和等。三、中考例题分析1、（2013年四川成都，27题10分）如图，⊙O的半径25r，四边形ABCD内接圆⊙O，ACBD于点H，P为CA延长线上的一点，且PDAABD.（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由：（2）若3tan4ADB，4333PAAH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积.思路点拨：（1）实质上这就是弦切角定理的逆命题，但不能用弦切角定理来证明。只能用弦切角定理的证明方法来证。连接DO并延长交⊙O于Ｅ点，再连接AE即产生Rt△ADE。通过等量代换于是PD⊥DE即得证。（2）通过分析Rt△ADH中的正弦值，引入一个参数k，得到AH、DH的值k3、k4，利用PA和AH的比值，求出PA和AH的值（含k的代数式）。再用勾股定理求出PD的值（含k的代数式）。这样分析PD和DH的值，发现一个特殊角度（DH=21PD）。再用弦切角=圆周角求出∠DCB的度数，从而分析出圆心角∠DOB的度数，又已知了半径，所以利用勾股定理和特殊角度，可以求弦长（BD）。（知识点梳理：圆内六组数量：①直径（半径）②弦长③弦心距④圆心角⑤圆周角⑥弧长任意知道两组数量，就可以求出其他数量）只是此题中圆心角的度数要通过圆外Rt△PDH和弦切角来求得，可谓来之不易！（3）显然利用对对角线乘积的一半可求出四边形ABCD的面积，转而全力求AC的长。由相似三角形可得BH：HC=3：4。（BH=BD—DH），于是可以用含k的代数式表示HC，再代入切割线定理表达式中可得含k的方程。解之求出k值，从而求出AC的值，于是四边形ABCD的面积就求出了。要点：对于引入一个参数k的方法越来越重要！有了参数k计算就简单了，而且通过图中数量关系，最终也要求出参数的具体值。2、（2012年四川成都，27题10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．思路点拨：（1）实质上是证等角。连接BG是必须的！直径对直角！再以现弦切角等圆周角。又观察发现两直角三角形相似，等量代换，等角证毕！（2）一看就知道由相似下手，连接GD又是必须的！（含KG2=KD•GE的三角形），从而等角又产生了，再用等弧代换一下，于是内错角相等了，结论也就不言面明了。（3）通过sinE得出sinC。从而得到Rt△AHC三边的关系，引入一个参数k。于是AH、CH、AC均可以用含k的代数式表示。又（1）易知AC=CK，于是HK又能用含k的代数式表示，勾股定理可求出AK，从而确定参数k的值。由射影定理求出AB。由相似求出AG的值。再利用“X”形相似求出GE、KE的值。从而得到HE的值。再利用一次“X”型相似，求出EF的值。二者之差即为FG的值。（说明第三问多次利用相似，可见难题用相似是多么的正确！中间也利用了勾股定理和射影定理。需要说明的是引入参数k代入分析，最后再把引入的参数求出来的这种方法在解题中越来越重要。）3、（2012年四川成都，27题10分）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a(a为大于零的常数)，求BK的长：(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．思路点拨：（1）全等即可。（2）利用勾股定理求出斜边AC，再利用射影定理可求出斜边上的高BK。（3）由垂径定理可得：DE=GE=2EF=6，于是可分析出EF=3。利用在Rt△AFD中由射影定理可求出AE的长，又在Rt△ADC中由射影定理可求出AC的长，也就是直径。（两次使用射影定理）。然后由勾股定理可以分别求出DC、AF的长度，进而求出BF的长度。再次利用“X”形相似求出HF的长度，减去DF（和EF相等）即为HG的长。要点：第三问多次利用相似（射影定理其实也是相似的产物）和勾股定理求出相关的线段，然后进行加减即可。4、（2010年四川成都，27题10分）已知：如图，ABC内接于O圆，AB为直径，弦CEAB于F，C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是ACQ的外心；（2）若3tan,84ABCCF,求CQ的长；（3）求证：2()FPPQFPFG．思路点拨：（1）证明P点是Rt△ACQ斜边上的中点即可。关键是寻找角相等（证明等腰三角形）。注意图中有几段弧相等即可。（2）解直角三角形可求出线段BF的长，射影定理再次登场，求出AF的长。勾股定理求出AC的长。利用相似三角形（△ACQ∽△ACF）可求出CQ。（3）显然是典型的相似思路。通过（1）问知道：FP+PQ=CF，原式即化简为FGFPCF2，三线一条线，显然需要代换线段。射影定理又一次发挥功用。显然BFAFCF2，这样原式再次化简为：BFAFFGFP。容易发现两三角形相似即可（△APF∽△GBF）要点：多次利用射影定理和相似知识！ABCDEFGO5、（2009年四川成都，27题10分）如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；(2)求证：AE=BF；（3）若3(22)OGDE，求⊙O的面积。思路点拨：（1）用等腰三角形“三线合一”即可证明。（2）用全等证明（Rt△ACE和Rt△BCF）（3）显然是典型的相似思路。连接OD，易发现△BDE和△OGD相似。通过比例代换。则已知条件中的乘积式可换为)22(3DBDG。再分析角平分线可得DB=2DG。于是求出了弦DB的长。知道弦长求半径。显然需要圆心角。△ABC为等腰直角三角形。于是弦DB所对的圆心角为45°的特殊角。作高即产生特殊直角三角形。过D作DH⊥AB于H。则DH=OH=r22。BH=rr22，于是代入Rt△DBH中（前面DB已求出），用勾股定理列方程即可求出r2（不必求出r）的值。代入圆形面积公式即可。要点：第三问较难，用相似是必须的！到了求出弦DB和它所对的圆心角时，由于用常规手法（垂径定理）作高，会产生22.5°的非特殊角，无法下手。所以需另外作高，保留45°的角，产生特殊直角三角形来分析！当然你如果能记得22.5°的三角函数值，其实更为简单！6、（2008年四川成都，27题10分）如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧AB⌒上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=23.（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC=y，ADDC=x（0x3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y.思路点拨：（1）是一个常规题：知道半径和弦长求圆周角（