随机信号分析与处理习题解答-罗鹏飞

第1章随机变量基础1.1设有两个随机变量X和Y，证明)(),()|(|xfyxfxyfXXY=，)(),()|(|yfyxfyxfYYX=提示：首先证明)()(),()|(xFxxFdxdyyxfxxXxyFXXyxxx−Δ+=Δ+≤∫∫∞−Δ+，然后对y求导得，xxfxyxfxFxxFdxyxfxxXxyfXXXxxxxxXxYΔΔ≈−Δ+=Δ+≤∫Δ+Δ+≤)(),()()(),()|(|最后求Δx→0的极限。解答：)()(),(}{},{)|(1221212121xFxFdxdyyxfxXxPxXxyYPxXxyFXXyxx−=≤≤≤=≤∫∫∞−上式对y求导，得)()(),()|(1221|2121xFxFdxyxfxXxyfXXxxxXxY−=≤∫≤在上式中，假定xx=1，xxxΔ+=2(xΔ无穷小量)，则xxfxyxfxFxxFdxyxfxxXxyfXXXxxxxxXxYΔΔ≈−Δ+=Δ+≤∫Δ+Δ+≤)(),()()(),()|(|因此)(),()|(lim)|(|0|xfyxfxxXxyfxyfXxxXxYxXY=Δ+≤=Δ+≤→Δ同理可得)(),()|(|yfyxfyxfYYX=于是有)()|()()|(),(||xfxyfyfyxfyxfXXYYYX==1.2设随机变量X服从二项式分布，其概率分布律为mnmmnppCmXP−−==)1(}{，0,1,2,....mn=，10p求X的均值和方差。解法一：直接按照定义计算00(){}(1)nnmmnmnmmEXmPXmmCpp−=====−∑∑0!(1)!()!nmnmmnmppmnm−==−−∑0(1)(2)(1)(1)!nmnmmnnnnmmppm−=−−−+=−∑1(1)(2)(1)(1)!nmnmmnnnnmmppm−=−−−+=−∑1[(1)(1)]1(1)(2)[(1)](1)(1)!nmnmmnnnmnpppm−−−−=−−−−=−−∑1[(1)]0(1)(2)()(1)!nmnmmnnnmnpppm−−−=−−−=−∑1[(1)]0(1)(2)[(1)1](1)!nmnmmnnnmnpppm−−−=−−−−+=−∑npppnpn=−+=−1)]1([注意：根据多项式展开式00!()!()!nnniiniininiinabCababini−−==+==−∑∑0(1)(2)(1)!niniinnnniabi−=−−−+=∑所以有1[(1)]10(1)(2)[(1)1](1)[(1)]!nmnmnmnnnmppppm−−−−=−−−−+−=+−∑类似地可得)()]1([])1([)(2XEXXEXXXEXE+−=+−=npppCmmnmmnmmn+−−=∑=−0)1()1(nppppnnn+−+−=−22)]1([)1(nppnn+−=2)1(所以X的方差为)1()()1()()()(2222pnpnpnppnnXEXEXD−=−+−=−=解法二：设12,,,nXXX…相互独立，且都服从(01)−分布，分布规律为{0}1iPXp==−，{1}iPXp==，1,2,,in=…，则1niiXX==∑服从参数为n，p的二项分布，即mnmmnppCmXP−−==)1(}{。X的所有可能取值为0,1,2,,n…。由独立性可知，X以特定的方式取m（如前m个取1，后m个取0）的概率为(1)mnmpp−−。而X取m的两两互不相容的方式有mnC种可能，故有mnmmnppCmXP−−==)1(}{，0,1,2,....mn=所以1niiXX==∑服从参数为n，p的二项分布。且有()1{1}0{0}iiiEXPXPXp=⋅=+⋅==，222()1{1}0{0}iiiEXPXPXp=⋅=+⋅==，222()()()(1)iiiDXEXEXpppp=−=−=−根据iX相互之间的独立性，所以对于服从二项分布的1niiXX==∑有11()()()nniiiiEXEXEXnp=====∑∑11()()()(1)nniiiiDXDXDXnpp=====−∑∑1.3设随机变量Y与X满足如下函数关系)sin()(θ+==XXgY其中θ是已知常量，求Y的概率密度。解答：显然，若1y，则()0Yfy=。若1y≤，这时对于任意的y，有无穷多个x值与之对应，即2arcsin2nxynθπ=−+，0,1,2,n=±±…21arcsin2nxynπθπ+=−−+，0,1,2,n=±±…211ydydxJnn−==所以，当1y≤时有112212112121()[()()]11[(arcsin2)(arcsin2)]11()1Ynnnnnnfygxgxygyngynygxyθππθπ+∞−−+=−∞+∞−−=−∞+∞−=−∞=+−=−++−−+−=−∑∑∑即Y的概率密度为121()1()10nnYgxyfyyelse+∞−=−∞⎧≤⎪=−⎨⎪⎩∑1.4设有随机变量1X和2X，求12YXX=和12ZXX=的概率密度。解答：（1）21XXY=设11XY=212XXY=对应的反函数关系为12211/yyxyx==112122212211121211/1/01),(),(yyyyyxyxyxyxyyxxJ−=−−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=)/,(1),(),(12121212211121yyyfyJxxfyyfXXXXYY==∫∫∞+∞−∞+∞−==1121211212)/,(1),()(1212dyyyyfydyyyfyfXXYYY即两个随机变量之积的概率密度为∫∞+∞−=duuyufuyfXXY)/,(1)(21（2）211XXY=设11XY=212/XXY=对应的反函数关系为21211/yyxyx==2212212221221112121//101),(),(yyyyyyxyxyxyxyyxxJ−=−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=)/,(),(),(2112221212211121yyyfyyJxxfyyfXXXXYY==∫∫∞+∞−∞+∞−==121122211212)/,(),()(1212dyyyyfyydyyyfyfXXYYY在上式中令21/yyu=,则∫+∞∞−=duuuyfuyfXXY),()(22212即两个随机变量之商的概率密度为∫+∞∞−=duuyufuyfXXY),()(211.5设()YgX=，其中01()0xxxAgxelse⎧=⎨⎩假定随机变量X的概率分布函数已知，求Y的概率分布函数。函数()gx的图像如下解法一：根据概率分布函数的定义计算。当0y≤时，0101(){}{}{}{}1{}YFyPYyPXxPXxPXxPXx=≤=+=+−01()1()FxFx=+−当yA≤时，0110(){}{}()()YXXFyPYyPxXxFxFx=≤==−所以Y的概率分布函数为1010()[1()()]()[()()]()YXXXXFyFxFxUyFxFxUyA=−++−−解法二：从概率密度()Yfy入手求概率分布函数()YFy。由图可知()gx的取值只可能为0或A，求Y的概率分布函数，也就是对()gx取0或A可能性的讨论。对于()gx取0的情况，只有xc或xc−的时候才有可能：01(0)1()PYPxXx==−≤对于()gx取A的情况，只有cxc−≤的时候才有可能：01()()PYAPxXx==≤所以Y的概率密度函数为01011010()(0)()()()[1()]()()()[1()()]()[()()]()YXXXXfyPYyPYAyAPxXxyPxXxyAFxFxyFxFxyA==δ+=δ−=−≤δ+≤δ−=−+δ+−δ−对()Yfy求积分可以得到Y的概率分布函数()YFy，注意其中的101()()XXFxFx−+和10()()XXFxFx−是常数。1010()[1()()]()[()()]()YXXXXFyFxFxUyFxFxUyA∴=−++−−归纳：对于函数()YgX=，如果在区间01[,]xx上为常数A，即01(),[,]YgXAxxx==∈，那么Y的概率密度函数为在yA=处不连续，跃变高度为10()()XXFxFx−。1.6设函数()gx为()0xcxcgxcxcxcxc+−⎧⎪=−≤⎨⎪−⎩其中0c为常数，假定随机变量X的概率分布函数已知，求()YgX=的概率分布函数。解法一：函数()gx的图像如下：分析此题仍然可以从()gx取值的可能情况来讨论。当()0ygx=时，y和x是一一对应的，也就是说x取什么值，y的取值是可以唯一确定的故(){}{}()YXFyPYyPXcyFyc=≤=+≤=−同理，当()0ygx=时，y和x仍然是一一对应的，故(){}{}()YXFyPYyPXcyFyc=≤=−≤=+当()0ygx==时，y和x之间是一对多的关系，也就是说y取0的时候，x此时有区间[,]cc−之间任何一个值的可能，故(0){0}{}()YXFPYPXcFc=≤=≤=所以()YgX=的概率分布函数为()0()()0XYXFycyFyFycy−⎧=⎨+≥⎩。解法二：从概率密度()Yfy入手求概率分布函数()YFy如果把图片xx中()gx和x互换，也就是把()gx看作自变量，把x看作变量对于正半轴中任意一点P，在函数()gx曲线确定的情况下，横坐标和纵坐标是可以互相唯一确定的，二者的关系由题目可知yxc=−，xc。这种一一对应的关系就是指在()gx概率密度曲线上Y取y的概率()PYy=和x的概率密度曲线上X取y+c的概率一样()PXyc=+。也就是当0y时，()()PYyPXyc===+，故()(),0YXfyfycy=+；同理也有0y时，()()PYyPXyc===−，故()(),0YXfyfycy=−；当0y=时，纵坐标[,]cc−之间的点都有可能，即()gx取点0的概率跟x取一段的概率相等，此时(0)()PYPcXc==−≤≤，(0)()()YxxfFcFc=−−。（跃变高度）对()YgX=的概率密度函数()Yfy求积分得到它的概率分布函数为：()0()()0XYXFycyFyFycy−⎧=⎨+≥⎩。1.7设函数()gx为0()0xcxgxxcx−⎧=⎨+≥⎩其中0c为常数，假定随机变量X的概率分布函数已知，求()YgX=的概率分布函数。解法一：此题的解法和前面的1.5和1.6题基本相同，函数图像也和习题1.6的基本基本一样当yc−时，{}{}()XPYyPXcyFyc≤=−≤=+当yc≥时，{}{}()XPYyPXcyFyc≤=+≤=−当cyc−≤时，{}{0}(0)XPYyPXF≤=≤=所以()YgX=的概率分布函数为()()(0)()XYXXFycycFyFcycycFyc−≥⎧⎪=−≤⎨⎪−+⎩解法二：同样也可以按照习题1.7的第二种解法，从概率密度()Yfy入手求概率分布函数()YFy，仍然遵循一一对应和概率密度类比的观点，也就是当yc≥时，()()PYyPXyc===−，故()(),YXfyfycyc=−；同理也有yc−时，()()PYyPXyc===+，故()(),YXfyfycyc=+−；当cyc−≤时，x取点0的概率跟()gx取一段[-c,c]的概率相等，此时()(0)PcYcPX−≤≤==，()(0)YxfYF=。同样地，()YgX=的概率分布函数为()()(0)()XYXXFycycFyFcycycFyc−≥⎧⎪=−≤⎨⎪−+⎩1.8设随机变量（X,Y）的联合概率密度为()1,,,20,yeyxxRfxy−⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他求(|)EYX。解答：从（X,Y）联合概率密度可以求出x的概率密度为11()(,)22xyXxfxfxydyedye+∞+∞−−−∞===∫∫按照条件概率密度的定义|(,)(|)()yxYXXfxyfyxefx−+==所以|(|)(|)1yxYXxxEYXyfyxdyyedyx+∞+∞−+=⋅==+∫∫1.9已知随机变量X在[]0,a上服从均匀分布，随机变量Y在[],Xa上服从均匀分布，试求（1）()EYXx=，0x