中考题数学分类全集66圆与相似三角形1

26．（本小题满分12分）如图12-1所示，在ABC△中，2ABAC，90A∠，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．（1）点EF，的移动过程中，OEF△是否能成为45EOF∠的等腰三角形？若能，请指出OEF△为等腰三角形时动点EF，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF∠时，设BEx，CFy，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图12-2），试探究直线EF与O的位置关系，并证明你的结论．26．解：如图，（1）点EF，移动的过程中，OEF△能成为45EOF°的等腰三角形．此时点EF，的位置分别是：①E是BA的中点，F与A重合．②2BECF．③E与A重合，F是AC的中点．············3分（2）在OEB△和FOC△中，135EOBFOC°，135EOBOEB°，FOCOEB∴．又BC∵，OEBFOC∴△∽△．···························5分BEBOCOCF∴．BEx∵，CFy，2212222OBOC，2(12)yxx∴≤≤．··························8分（3）EF与O相切．OEBFOC∵△∽△，BEOECOOF∴．图12-1ABCOEF图12-2ABCOEFBEOEBOOF∴．即BEBOOEOF．又45BEOF∵°，BEOOEF∴△∽△．BEOOEF∴．···························10分∴点O到AB和EF的距离相等．AB∵与O相切，∴点O到EF的距离等于O的半径．EF∴与O相切．····························12分24.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=53，AD=12．⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．24.⑴证明：∵BC是⊙O的直径∴∠BAC=90o又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM=ME，∠AMN=EMN又∵MN=MN，∴△ANM≌△ENM⑵∵AB2=AF·AC∴ABAFACAB又∵∠BAC=∠FAB=90o∴△ABF∽△ACB∴∠ABF=∠C又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o∴FB是⊙O的切线⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN，又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，∴AM=ME=EN=AN∴四边形AMEN是菱形∵cos∠ABD=53，∠ADB=90o∴53ABBD设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理xx－xAD43522而AD=12，∴x=3∴BD=9，AB=15∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15∴DE=BE-BD=6∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE∴△BND∽△BME，则BEBDMEND设ME=x，则ND=12-x，15912xx，解得x=215∴S=ME·DE=215×6=4524．（本小题满分9分）如图8-1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．(1)(3分)求证：△ABC∽△ACD；(2)(6分)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=35，①如图8-2，当点D与点P重合时，求R的值；②当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．图8-2图8-124．(1)由已知，CD⊥BC，∴∠ADC=90°–∠CBD，···········································1分又∵⊙O切AY于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD，························2分∴∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．·····························································3分(2)由已知，sinA=35，又OB=OC=R，OB⊥AB，∴在Rt△AOB中，AO=sinOBA=35R=53R，AB=225()3RR=43R，∴AC=53R+R=83R．··············································································4分由(1)已证，△ABC∽△ACD，∴ACADABAC，··············································5分∴834833RADRR，因此AD=163R．································································6分①当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴163R=4，∴R=34．···························7分②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：i)若点D在线段AP上(即0R34)，PD=AP–AD=4–163R；·····························8分ii)若点D在射线PY上(即R34)，PD=AD–AP=163R–4．·······························9分综上，当点D在线段AP上(即0R34)时，PD=4–163R；当点D在射线PY上(即R34)时，PD=163R–4．又当点D与点P重合(即R=34)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|163R–4|(R0)．26.(2010广西百色，26，10分)如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D.（1）用尺规作图：过点D作DEBC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC；（3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值.ABCDOCBODA图1图2【分析】(1)要证△BED∽△DEC，有一公共角，故只要证明∠C＝∠EDB即可.(2)在Rt△OBC中，只要找到OB与OC的关系即可.由于∠ADB＝90，D是AC的中点，所以BD垂直平分AC，所以△ABC是等腰直角三角形.答案：(1)如图（2）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝∠CDB＝90∴∠CDE＋∠EDB＝90又∵DE⊥BC∴∠CED＝∠DEB＝90∴∠CDE＋∠C＝90∴∠C＝∠EDB∴△BED∽△DEC(3)解：∵∠ADB＝90，D是AC的中点∴BD垂直平分AC∴BC＝AB＝2OB设OB＝k则BC＝2k∴OC＝22(2)kk＝5ｋ∴sin∠OCB＝OBOC＝5kk＝5520（8分）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4.（1）求证:ABE～ABD；(2)求tanADB的值；（3）延长BC至F，连接FD，使BDF的面积等于83，求EDF的度数.EODCBAABCDOFOEADBC２０．（１）∵点A是弧BC的中点∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ∴ＡＢ２＝２×６＝１２∴ＡＢ＝２3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33632．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分21.(10分)如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=090，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.（1）求证：ED是⊙O的切线.（2）如果CF=1,CP=2，sinA=54，求⊙O的直径BC.21、解：⑴连接OD…………………………………………1分∵BC为直径∴△BDC为直角三角形。又∵∠OBD=∠ODBRt△ADB中E为AB中点∴∠ABD=∠EDB…………………………2分∵∠OBD+∠ABD=900∴∠ODB+∠EDB=900∴ED是⊙O的切线。…………………………………………5分(2)∵PF⊥BC∴∠FPC=∠PDC又∠PCF公用∴△PCF∽△DCP………………………………………………………7分∴PC2=CF·CD图9又∵CF=1,CP=2，∴CD=4…………………………………………8分可知sin∠DBC=sinA=54∴BCDC=54即BC4=54得直径BC=5………………………………………10分26．（本小题满分10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.26．（本小题满分10分）解：（1）证明：连结AD、OD∵AC是直径∴AD⊥BC（2分）[来源:Z,xx,k.Com]∵AB=AC[来源:Zxxk.Com]∴D是BC的中点又∵O是AC的中点∴OD//AB（4分）∵DE⊥AB∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线（6分）（2）由（1）知OD//AE∴AEODFAFO（8分）∴BEABODACFCOCFC∴14242FCFC[来源:学+科+网Z+X+X+K]解得FC=2∴AF=6∴cosA=21614AFBEABAFAE（10分）25．（9分）如图，在ABC△中90ACB，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC△的三边，交点分别是GFE，，点．GECD，的交点为M，且46ME，:2:5MDCO．（1）求证：GEFA．（2）求O的直径CD的长．（3）若cos0.6B，以C为坐标原点，CACB，所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．EADGBFCOM第25题图25．（9分）（1）连接DFCD是圆直径，90CFD，即DFBC90ACB，DFAC∥．······································································1分BDFA．在O中BDFGEF，GEFA．·······················2分（2）D是RtABC△斜边AB的中点，DCDA，DCAA，又由（1）知GEFA，DCAGEF．又OMEEMC，OME△与EMC△相似··············································3分OMMEMEMC2MEOMMC··································································4分又46ME，2(46)96OMMC:2:5MDCO，:3:2OMMD，:3:8OMMC································5分设3OMx，8MCx，3896xx，2x直径1020CDx．·················································································6分（3）RtABC△斜边上中线20CD，40AB在RtABC△中co