高中数学必修4三角函数的图像与性质

高一数学辅导三角函数（四）【三角函数的图像与性质】考点1求与三角函数有关的函数的定义域【例1】(1)求下列函数的定义域：①y＝2＋log12x＋tanx；②y＝sin（cosx）；③y＝lgsin(cosx)．(2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cosx)的定义域．解析：(1)①2＋log12x≥0，tanx≥0，x00x≤4，kπ≤xkπ＋π2，k∈Z，0xπ2或π≤x≤4，所以函数的定义域是0，π2∪[π，4]．②sin(cosx)≥00≤cosx≤12kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z，所以函数的定义域是x2kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，k∈Z.③由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ＋π(k∈Z)，又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1，∴所求定义域为2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z.(2)0≤cosx＜12kπ－π2≤x≤2kπ＋π2，且x≠2kπ(k∈Z)，∴所求函数的定义域为2kπ－π2，2kπ∪(2kπ，2kπ＋π2]，k∈Z.考点2求三角函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)y＝12sinπ4－2x3；(2)y＝－sinx＋π4.解析：(1)∵y＝12sinπ4－2x3＝－12sin2x3－π4，且函数y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．∴由2kπ－π2≤2x3－π4≤2kπ＋π23kπ－3π8≤x≤3kπ＋9π8(k∈Z)，由2kπ＋π2≤2x3－π4≤2kπ＋3π23kπ＋9π8≤x≤3kπ＋21π8(k∈Z)，即函数的单调递减区间为[3kπ－3π8，3kπ＋9π8](k∈Z)，单调递增区间为[3kπ＋9π8，3kπ＋21π8]（k∈Z）.(2)作出函数y＝－sinx＋π4的简图(如图所示)，由图象得函数的单调递增区间为kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z)，单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．考点3求三角函数的最小正周期、最值(值域)【例3】(1)求下列函数的值域。①y=cos(x+π6)，x∈[0，π2]；②y=－sin2x－3cosx＋3.③y=𝟐+𝐜𝐨𝐬𝐱𝟐−𝐜𝐨𝐬𝐱(2)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1x∈R，其中A0，ω0，0φπ2的周期为π，且图象上一个最低点为M23π，－1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈0，π12时，求f(x)的值域．（3）y=－1＋42−cosx，（2）、(1)因为函数的周期为π，所以有T＝2πω＝π，所以ω＝2，因为函数图象上一个最低点为M23π，－1，所以－A＋1＝－1，所以A＝2，并且－1＝2sin2×2π3＋φ＋1，可得sin2×2π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，φ＝2kπ－11π6，k∈Z，因为0φπ2，所以k＝1，解得φ＝π6.函数的解析式为：f(x)＝2sin2x＋π6＋1.(2)因为x∈0，π12，所以2x∈0，π6，2x＋π6∈π6，π3，sin2x＋π6∈12，32，∴2sin2x＋π6∈[1，3]，2sin2x＋π6＋1∈[2，1＋3]，所以f(x)的值域为[2，1＋3]．考点4三角函数的奇偶性、对称性的应用【例4】(1)求函数y=3sin(2x+π6)的对称轴和对称中心。(2)若函数ƒ(x)=sinx+φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ=。(3)已知函数f()x＝sinωx＋π6(ω0)，若函数f()x图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为π3，则ω的值为________．（2）因为ƒ(x)是偶函数，所以x+φ3=π2＋kπ(k∈Z)，φ=32π+3π(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ=32π；（3）依题意T4＝π3，∴T＝4π3.∴2πω＝4π3.∴ω＝32.考点5正切函数的图像与性质【例5】(1)判断函数ƒ(x)＝lgtanx+1tanx−1的奇偶性。(2)设函数ƒ(x)=tan(x2－π3).①求函数ƒ(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心；②求不等式-1≤ƒ(x)≤√3的解集。解析：(1)由tanx+1tanx−1＞0得tanx＜-1或tanx＞1（2）