概率论与数理统计第四章方差

一、问题的引入五、例题讲解三、方差的性质六、小结第四章随机变量的数字特征方差四、重要概率分布的数学期望与方差二、方差的概念一、问题的引入上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果aa甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差二、方差的概念1.方差的定义采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用由于它与E(X)具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]2}∞，则称D(X)=E{[X-E(X)]2}(1)为X的方差.方差的算术平方根称为标准差,记为)(XD()X2.方差的意义若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则X以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=E{[X-E(X)]2}3.随机变量方差的计算离散型随机变量的方差21()[()],kkkDXxEXp连续型随机变量的方差2()[()]()d,DXxEXfxx(1)利用定义计算其中P{X=xk}=pk，k=1，2，…是X的分布律.其中f(x)为X的概率密度.方差是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.22()()[()].DXEXEX证明2(){[()]}DXEXEX22{2()[()]}EXXEXEX22()2()()[()]EXEXEXEX22()[()]EXEX(2)利用公式计算22()().EXEX三、方差的性质证明22()()[()]DCECEC(1)设C是常数,则有()0.DC22CC0.(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有2()().DCXCDX证明()DCX22{[()]}CEXEX2().CDX2{[()]}ECXECX()()().DXYDXDY(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明2(){[()()]}DXYEXYEXY2{[()][()]}EXEXYEY22[()][()]2{[()][()]}EXEXEYEYEXEXYEY()().DXDY推广1212()()()().nnDXXXDXDXDX{}1.PXC若X1，X2，…，Xn相互独立，则有(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C,即1.两点分布()10EXpqXkp101pp已知随机变量X的分布律为则有,p22()()[()]DXEXEX22210(1)ppp.pqppq四、重要概率分布的数学期望与方差2.二项分布{}(1),(0,1,2,,),knknPXkppknk01.p则有0(){}nkEXkPXk0(1)nknkknkppk设随机变量X服从参数为n,p二项分布,其分布律为0!(1)!()!nknkkknppknk1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!nknkknpnppknk1[(1)]nnppp.np1(1)(1)1(1)!(1)(1)![(1)(1)]!nknkknnpppknknp2()[(1)]EXEXXX[(1)]()EXXEX0(1)(1)nknkkkkkppnpn0(1)!(1)!()!nknkkkknppnpknk22(1)[(1)]nnnpppnp22().nnpnp22()()[()]DXEXEX222()()nnpnpnp(1).npp22(2)(2)2(2)!(1)(1)()!(2)!nknkknnnpppnkknp(1)npp3.泊松分布{}e,0,1,2,,0.!kPXkkk则有0()e!kkEXkk11e(1)!kkkee.设，且分布律为~()X2()[(1)]EXEXXX[(1)]()EXXEX0(1)e!kkkkk222e(2)!kkk2ee2.所以22()()[()]DXEXEX22.泊松分布的期望和方差都等于参数.4.均匀分布则有()()dEXxfxx1dbaxxba1().2ab1,,()0,.axbfxba其他1().2ab设X~U(a,b)，其概率密度为结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.22()()[()]DXEXEX221d2baabxxba2().12ba2()12ba5.指数分布则有()()dEXxfxx01edxθxxθ.θ00eedxθxθxxθ设随机变量X服从指数分布，其概率密度为10000xθe,x,f(x)θ.θ,x.22()()[()]DXEXEX2201edxθxxθθ222θθ2.θ2θ指数分布的期望和方差分别为θ和26.正态分布则有()()dEXxfxx22()21ed.2πxμσxxσxμtσ令,xμσt22()21()e,0,.2πxμσfxσxσ2~(,)XNμσ设，其概率密度为.μ22221eded2π2πttσμttt22()21()ed2πxμσEXxxσ所以221()ed2πtμσttμ22()221()ed.2πxμσxμxσ2()()()dDXxμfxx,xμtσ令得2222()ed2πtσDXtt22222eed2πttσtt202π2πσ2.σ2σ正态分布的期望和方差分别为两个参数和2重要结果22112212222211221122,,~(,),~(,).,~(,).XYXNμσYNμσZcXcYZNcμcμcσcσ一般设相互独立且则仍然服从正态分布且有01pp(1)pp1,01npnp(1)npp0ab()2ab2()12ba0θθ2θ分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ1,10,()1,01,0,.().xxfxxxDX其他求解0110()(1)d(1)dEXxxxxxx0,五、例题讲解例1设随机变量X具有概率密度0122210()(1)d(1)dEXxxxxxx1,6于是22()()[()]DXEXEX21061.6例2解22~(22.40,0.03),~(22.50,0.04),XNYN~(0.10,0.0025),XYN{}{0}PXYPXY故有()(0.10)0(0.10)0.00250.0025XYP(2)0.9772.设活塞的直径(以cm计)X~N(22.40,0.032),汽缸的直径Y~N(22.50,0.042),X,Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率.例3).(,.,02π0,cos)(2YDXYxxxf的方差求随机变量其他解22()()dEXxfxx2220cosd2,4xxx44()()dEXxfxx420cosdxxx设连续型随机变量X的概率密度为22()()[()],DXEXEX242232421642202.42324,162422()()[()]DXEXEX例420131111321212解33(25)(2)(5)DXDXD34()DX6324[()(())]EXEX666661111()(2)013321212EX493,63(25).DX求Xkp23233331111[()](2)013321212EX3(25)DX故1,96324[()(())]EXEX2954.9契比雪夫不等式证明22{}σPXμεε取连续型随机变量的情况来证明.设X的概率密度为f(x)，则有定理设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，方差D(X)=,则对于任意正数,不等式2成立.22{}.σPXμεε221()()dxμfxxε221.σε22()dxμεxμfxxε22{}σPXμεε22{}1.σPXμεε得{}PXμε()dxμεfxx六、小结1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.22()()[()],DXEXEX2.方差的计算公式21()[()],kkkDXxEXp2()[()]()d.DXxEXfxx3.方差的性质oo2o1()0;2()();3()()().DCDCXCDXDXYDXDY22{}σPXμεε22{}1.σPXμεε4.契比雪夫不等式