2015年湖北高考数学(文)试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，607iA．iB．iC．1D．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．命题“0(0,)x，00ln1xx”的否定是A．0(0,)x，00ln1xxB．0(0,)x，00ln1xxC．(0,)x，ln1xxD．(0,)x，ln1xx4．已知变量x和y满足关系0.11yx，变量y与z正相关.下列结论中正确的是A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关5．12,ll表示空间中的两条直线，若p：12,ll是异面直线；q：12,ll不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．函数256()4||lg3xxfxxx的定义域为A．(2,3)B．(2,4]C．(2,3)(3,4]D．(1,3)(3,6]7．设xR，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx则A．|||sgn|xxxB．||sgn||xxxC．||||sgnxxxD．||sgnxxx8．在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“12xy”的概率，则A．1212ppB．1212ppC．2112ppD．2112pp9．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee10．已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为A．77B．49C．45D．30二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．已知向量OAAB，||3OA，则OAOB_________．12．若变量,xy满足约束条件4,2,30,xyxyxy则3xy的最大值是_________．13．函数2π()2sinsin()2fxxxx的零点个数为_________.14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）直方图中的a_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_________m.第14题图第15题图ABCDxOyTCAB16．如图，已知圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且2AB.（Ⅰ）圆C的标准．．方程为_________；（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.17．a为实数，函数2()||fxxax在区间[0,1]上的最大值记为()ga.当a_________时，()ga的值最小.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x0π2π3π22πxπ35π6sin()Ax0550（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()ygx图象，求()ygx的图象离原点O最近的对称中心.19．（本小题满分12分）设等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，等比数列{}nb的公比为q．已知11ba，22b，qd，10100S．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）当1d时，记nnnacb，求数列{}nc的前n项和nT．第16题图20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接,,DEBDBE.（Ⅰ）证明：DE平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马PABCD的体积为1V，四面体EBCD的体积为2V，求12VV的值．第20题图21．（本小题满分14分）设函数()fx，()gx的定义域均为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，()()exfxgx，其中e为自然对数的底数.（Ⅰ）求()fx，()gx的解析式，并证明：当0x时，()0fx，()1gx；（Ⅱ）设0a，1b，证明：当0x时，()()(1)()(1)fxagxabgxbx.22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．第22题图1BADOMN第22题图2xDOMNy绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A2．B3．C4．A5．A6．C7．D8．B9．D10．C二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11．912．1013．214．（Ⅰ）3；（Ⅱ）600015．100616．（Ⅰ）22(1)(2)2xy；（Ⅱ）1217．222三、解答题（本大题共5小题，共65分）18．（12分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A.数据补全如下表：x0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()Ax05050且函数表达式为π()5sin(2)6fxx.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6fxx，因此πππ()5sin[2()]5sin(2)666gxxx.因为sinyx的对称中心为(π,0)k，kZ.令π2π6xk，解得ππ212kx，kZ.即()ygx图象的对称中心为ππ0212k（，），kZ，其中离原点O最近的对称中心为π(,0)12.19．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,adad即112920,2,adad解得11,2,ad或19,2.9ad故121,2.nnnanb或11(279),929().9nnnanb（Ⅱ）由1d，知21nan，12nnb，故1212nnnc，于是2341357921122222nnnT，①2345113579212222222nnnT.②①-②可得221111212323222222nnnnnnT，故nT12362nn.20．（13分）（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC.由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCDBCEDECDEB（Ⅱ）由已知，PD是阳马PABCD的高，所以11133ABCDVSPDBCCDPD；由（Ⅰ）知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以21136BCEVSDEBCCEDE.在Rt△PDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以22DECECD，于是121234.16BCCDPDVCDPDVCEDEBCCEDE21．（14分）（Ⅰ）由()fx,()gx的奇偶性及()()exfxgx,①得()()e.xfxgx②联立①②解得1()(ee)2xxfx，1()(ee)2xxgx.当0x时，e1x，0e1x，故()0.fx③又由基本不等式，有1()(ee)ee12xxxxgx，即()1.gx④（Ⅱ）由（Ⅰ）得2111e1()(e)(e)(ee)()2e2e2xxxxxxxfxgx，⑤2111e1()(e)(e)(ee)()2e2e2xxxxxxxgxfx，⑥当0x时，()()(1)fxagxax等价于()()(1)fxaxgxax，⑦()()(1)fxbgxbx等价于()()(1).fxbxgxbx⑧设函数()()()(1)hxfxcxgxcx，由⑤⑥，有()()()()(1)hxgxcgxcxfxc(1)[()1]().cgxcxfx当0x时，（1）若0c，由③④，得()0hx，故()hx在[0,)上为增函数，从而()(0)0hxh，即()()(1)fxcxgxcx，故⑦成立.（2）若1c，由③④，得()0hx，故()hx在[0,)上为减函数，从而()(0)0hxh，即()()(1)fxcxgxcx，故⑧成立.综合⑦⑧，得()()(1)()(1)fxagxabgxbx.22．（14分）（Ⅰ）因为||||||314OMMNNO，当,MN在x轴上时，等号成立；同理||||||312OMMNNO，当,DO重合，即MNx轴时，等号成立.所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164xy（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为4x或4x，都有14482OPQS.（2）当直线l的斜率存在时，设直线1:()2lykxmk，由22,416,ykxmxy消去y，可得222(14)84160kxkmxm.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，第22题解答图xDOMNyPQ所以2222644(