2013年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)

12013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖南，理1，5分】复数i(1i)z(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限【答案】B【解析】2ii1iz，对应点为()1,1，故在第二象限，故选B．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．（2）【2013年湖南，理2，5分】某学校有男、女学生各500名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）（A）抽签法（B）随机数法（C）系统抽样法（D）分层抽样法【答案】D【解析】总体由男生和女生组成，比例为500:500=1:1，所抽取的比例也是1:1．故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法，故选D．【点评】本小题主要考查抽样方法，属基本题．（3）【2013年湖南，理3，5分】在锐角中ABC，角A，B所对的边长分别为,ab．若2sin3aBb，则角A等于（）（A）12（B）6（C）4（D）3【答案】D【解析】∵在ABC中，2sin3aBb，∴由正弦定理2sinsinabRAB得：2sinsin3sinABB，∴3sin2A，又ABC为锐角三角形，∴3A，故选D．【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．（4）【2013年湖南，理4，5分】若变量,xy满足约束条件211yxxyy，则2xy的最大值是（）（A）52（B）0（C）53（D）52【答案】B【解析】约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令2xyd，即122dyx，由线性规划知识可得最优点为12,33，所以max145333d，故选B．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．（5）【2013年湖南，理5，5分】函数2lnfxx的图像与函数245gxxx的图像的交点个数为（）（A）3（B）2（C）1（D）0【答案】B【解析】解法一：设fx与gx图象的交点坐标为()xy，，则2lnyx，245yxx，联立得22ln45xxx，令2450()2lnhxxxxx，由2240hxxx得112x，212x(舍)．当0hx，即0,12x时，hx单调递减；当0hx，即12,x时，hx单调递增．又∵120h，21220hln，45240hln，∴hx与x轴必有两个交点，故选B．2解法二：在同一坐标系下，画出函数2lnfxx的图象与函数245gxxx的图象如下图：由图可知，两个函数图象共有2个交点，故选B．【点评】求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的图象，分析图象后，即可等到答案．（6）【2013年湖南，理6，5分】已知,ab是单位向量，0ab．若向量c满足1cab，则c的取值范围是（）（A）[21,21]（B）[21,22]（C）[1,21]（D）[1,22]【答案】A【解析】由题意，不妨令0,1a，1,0b，()cxy，，由1||cab得22()(11)1xy，22cxy可看做()xy，到原点的距离，而点()xy，在以1,1为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点()xy，在位置P时到原点的距离最近，在位置P时最远，21PO，21PO，故选A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．（7）【2013年湖南，理7，5分】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）（A）1（B）2（C）212（D）212【答案】C【解析】根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为2cos，如图所示．故正视图的面积为2cos04S，∴12S，而2112，故面积不可能等于212，故选C．【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为1,2是解题的关键．（8）【2013年湖南，理8，5分】在等腰直角三角形ABC中，=4ABAC，点P是边AB上异于,AB的一点，光线从点P出发，经,BCCA发射后又回到原点P（如图）．若光线QR经过ABC的重心，则AP等于（）（A）2（B）1（C）83（D）43【答案】D【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则0,0A，4,0B，0,4C．设ABC的重心为D，则D点坐标为44,33．设P点坐标为,0m，则P点关于y轴的对称点1P为(),0m，因为直线BC方程为40xy，所以P点关于BC的对称点2P为(4,4)m，根据光线反射原理，1P，2P均在QR所在直线上，∴12PDPDkk，即4443344433mm，解得，43m或0m．当0m时，P点与A点重合，舍去．∴43m，故选D．【点评】本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分）（二）必做题（12~16题）．（9）【2013年湖南，理9，5分】在平面直角坐标系xoy中，若直线:xtlyta(t为参数)过椭圆3cos:2sinxCy（为参数）的右顶点，则常数a的值为．【答案】33【解析】由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为yxa，椭圆的方程为22194xy，所以其右顶点为3,0．由题意知03a，解得3a．【点评】本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．（10）【2013年湖南，理10，5分】已知,,abcR，236abc，则22249abc的最小值为．【答案】12【解析】由柯西不等式得22222221114923abcabc，即2224912abc，当232abc时等号成立，所以22249abc的最小值为12．【点评】本题给出等式236abc，求式子22249abc的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．（11）【2013年湖南，理11，5分】如图，在半径为7的O中，弦AB，CD相交于点P，2PAPB，1PD，则圆心O到弦CD的距离为．【答案】32【解析】如图所示，取CD中点E，连结OE，OC．由圆内相交弦定理知··PDPCPAPB，所以4PC，5CD，则52CE，7OC．所以O到CD距离为2253722OE．【点评】此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．（二）必做题（12~16题）（12）【2013年湖南，理12，5分】若209Txdx，则常数T的值为．【答案】3【解析】∵3213x'x，∴23300110933TTxdxxT，∴3T．【点评】本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．（13）【2013年湖南，理13，5分】执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2ab，则输出的a的值为．【答案】9【解析】输入1a，2b，不满足8a，故3a；3a不满足8a，故5a；5a不满足8a，故7a；7a不满足8a，故9a，满足8a，终止循环．输出9a．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．（14）【2013年湖南，理14，5分】设12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P是C上一点，若126PFPFa，且12PFF的最小内角为30，则C的离心率为．【答案】3【解析】不妨设12PFPF，由1212||||6||||2PFPFaPFPFa，可得12||4||2PFaPFa．∵22ac，∴1230PFF，∴22224322402coscaaa，得222330ccaa，即23023ee，∴3e．【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．（15）【2013年湖南，理15，5分】设nS为数列na的前n项和，1(1),2nnnnSanN，则（1）3a；（2）12100SSS．4【答案】(1)116(2)10011132【解析】（1）由112nnnnSa，*nN，当1n时，有111112aa，得114a．当2n时，1111111122nnnnnnnnnaSSaa．即11112nnnnnnaaa．若n为偶数，则1122nnan．所以112nna（n为正奇数）；若n为奇数，则1111111222222nnnnnnaa．所以12nna（n为正偶数）．所以3411216a．（2）112nna（n为正奇数），所以1221122a，又12nna（n为正偶数），所以2212a．则122122aa．3441122a，4412a．则344122aa．…99100100122aa．所以，1234912349910031900100111222aaaaSSSaaSSS501001002100100111111111111114422221114162222321142．【点评】本题考查了数列的求和，考查了数列的函数特性，解答此题的关键在于当n为偶数时能求出奇数项的通项，当n为奇数时求出偶数项的通项，此题为中高档题．（16）【2013年湖南，理16，5分】设函数()xxxfxabc，其中0,0cacb．（1）记集合{(,,)|,,Mabcabc不能构成三角形的三条边长，且}ab，则(,,)abcM所对应的()fx的零点的取值集合为______．（2）若,,abc是ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①,1,0xfx；②xR，使,,xxxabc不能构成一个三角形的三条边长；③若ABC为钝角三角形，则(1,2)x使()0fx．【答案】(1)1|0xx；(2)①②③【解析】（1）ca，2caba，所以2ca，则lnln20ca．令2210xxxxxxxafxabcaccc（）．得2xca，所以ln2ln21ln2lnxca．所以01x．（2）因为1xxxxxxabfxab