近世代数主要知识点

近世代数基础补考复习练习王尚文近世代数基础基本概念群论环和域第一章基本概念集合映射代数运算结合律交换律分配律一一映射同态同构、自同构等价关系与集合分类第二章群论群的定义单位元、逆元、消去律有限群的另一定义群的同态变换群置换群循环群子群子群的陪集不变子群、商群同态与不变子群第三章环和域加群、环的定义交换律、单位元、零因子、整环除环、域无零因子环的特征子环、环的同态多项式环理想剩余类环、同态与理想最大理想集合的定义若干个固定事物的全体叫做一个集合简称集元组成一个集合的事物叫做这个集合的元素有时简称元一个没有元素的集合叫做空集合集合的积令A1A2·········，An是n个集合，有一切从A1A2·········，An里顺序取出的元素组（a1，a2，a3············，an）（ai∈Ai）所做成的集合叫做集合的积子集若集合b的每一个元素都属于集合a，我们说，b是a的子集交集集合a和集合b的所有共同元所组成的集合就叫做a和b的交集并集由至少属于集合a和b之一的一切元素组成的集合就叫做a和b的并集映射映射的定义假如通过一个法则Ф，对于任何一个A1×A2×······×An的元都能得到一个唯一的D的元d，那么这个法则叫做集合A1×A2×······×An到集合D的一个映射像逆象，映射的相同效果相同就行代数运算定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算代数运算是一种特殊的映射描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来表示二元运算假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的二元运算分配律第一分配律b⊙（a+b）=（b⊙a)+(b⊙a）第二分配律（a1+a2）b=（a1⊙b）+（a2⊙b）同态同态映射一个A到Ǎ的映射l，叫做一个代数运算∮和∮‘来说，A到Ǎ的同态映射，假如，在∮之下不管a和b是A的哪两个元，只要a→a´，b→b`就有a∮b→a´∮‘b`假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射同构映射一一映射的同态映射就是一个同构映射自同构等价关系与等价类集合的等价关系假如～满足以下规律Ⅰ反射律；a～a，不管a是A的哪个元。Ⅱ，对称律:a～b＝b～aⅢ，推移律：a～b，b～c=a～c同余关系群的定义群的第一定义一个不空集合G对于乘法的代数运算来说做成一个群，假如ⅰG对于这个乘法来说是闭的ⅱ结合律成立：a（bc）=（ab）c对于G的任意的三个元a，b，c都对；ⅲ对于G的任意两个元a，b来说，方程ax=b和ya=b都在G里有解群的第二定义ⅰG对乘法是闭的ⅱ结合律成立：a（bc）=(ab)c对于G里的任意元都对ⅲG里至少存在一个左单位元e，能让ea=a对G中的任意a都成立ⅳ对于G的每个元a，在G里至少存在一个左逆元a‘能让a’a=e单位元、逆元、消去律单位元一个群的唯一的能使ea=ae=a的元e叫做群的单位元逆元一个群的每一个元a来说，在群里存在一个而且只存在一个元a‘，能使a’a=aa’=e消去律若ax=ax’，那么x=x’若ya=y’a，那么y=y’群的同态定理假定G与G’对于它们的乘法来说同态，那么G’也是一个群注意假如G’和G同态，那么不一定是群定理2假定G和G’是两个群。在G到G’的一个同态映射下，G的单位元e的象是G’的单位元，G的元a的逆元a’的象是a的象的逆元在一个同构映射下，两个单位元互相对应，相互对应的元的逆元相互对应。变换群定理1假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等变换ε，若是对乘法（ζ：a→aζ，λ：a→a٨那么a→（aד)٨）来说做成一个群，那么G只包含A的一一变换。变换群一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个群叫做A的一个变换群定理2一个集合的所有一一变换做成一个变换群定理3任何一个群都同一个变换群同构证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起，做成一个集合G’={a’，b‘，c’·······}那么x→x’是G到G’的满射，但消去律x≠y=gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’≠y’，所以x→x’是一一映射。在进一步看，是同构映射所以任何群和一个变换群同构置换群一个有限集合的一一变换叫做置换一个有限集合的若干个置换群做成的一个群叫做置换群。定义一个包含n个元的集合的全体置换做成的群叫做对称群sn定理1n次对称群sn的阶是n！定义sn的一个把ai1变到ai2·····························而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做一个k-循环置换定理2每一个n个元的置换ד都可以写成若干个互相没有共同数字的循环置换的乘积。定理3每个有限群都与一个置换群同构循环群定义若一个群G的每一个元都是G的某个固定元a的乘方，我们就把G叫做循环群，我们也可以说，G是由元a生成的，并且用符号G=（a）来表示。a叫做G的一个生成元定理假定G是一个由元a所生成的循环群。那么G的构造完全可以由a的阶来决定a的阶若是无限，那么G与整数加群同构a的阶若是一个有限整数n，那么G与n的剩余类加群同构子群定义一个群的一个子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说做成一个群做成子群的必要条件;⑴,a，b∈H=ab∈H⑵a∈H=a’∈H定理做成子群的充分必要条件a，b∈H=》ab’∈H一个群的不空有限子集H作成G的一个子群的充分必要条件是：a，b∈ab∈H子群的陪集a～b当且仅当ab’∈H时是一种等价关系a～‘b当且仅当b’a∈H是也是等价关系等价关系的类是右陪集Ha第一种情况由～’所决定的类是左陪集第二种情况一个右陪集的个数和左陪集的个数相等它们或者都是无限大或者都是有限并且相等子群的陪集续指数一个群的子群的右陪集的个数叫做H在G里的指数假定H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整除G的阶N并且N=nj一个有限群的任一元a的阶n都能整除G的阶不变子群、商群定义一个群G是一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每个元a来说，都有Na=aN一个不变子群的一个左(右)陪集叫做N的一个陪集一个群G的一个子群是一个不变子群的充要条件是：aNa’=N对于任意元a都成立充要条件a∈G，n∈N=ana‘∈N商群一个不变子群N的陪集所做成的群叫做一个商群G/N有限群时G的阶/N的阶=G/N的阶同态、不变子群一个群G同他的每一个商群G/N同态同态映射的核：假定&是一个群G到另一个群G’的一个同态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的子集就叫做同态映射的核。定理假定G与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’加群、环的定义加群一个交换群叫做一个加群环一个集合叫做一个环1R是加群对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群2R对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的3这个乘法适合结合律：a（bc）=（ab）c不管a，b，c是R的哪三个元4两个分配律都成立a（b+c）=ab+ac（b+c）a=ba+ca交换律、单位元、零因子、整环交换环一个环假如ab=ba不管ab是环的哪两个元单位元ea=ae=a一个环未必有单位元零因子若环里a≠0，b≠0但ab=0那么a是左零因子b右零因子整环一个环叫做整环如果1.乘法适合交换律：ab=ba2.R有单位元1：1a=a1=a3R没有零因子ab=0=a=0或b=0除环、域除环1，R至少包含一个而不等于零的元2，R有单位元3，R的每一个不等于零的元有一个逆元域一个交换除环叫做一个域在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征整环除环域的特征或是无限大或是一个素数子环、环的同态一个非空子集作成子环的充要条件是，a，b∈S=a-b∈Sab∈S一个除环的子集作成子除环的充要条件是1，包含一个不等于零的元2，a，b∈S=a-b∈Sa，b∈Sb≠0=ab’∈S多项式环325433225432543([3][5][4])([4][3])[5][3][2][6][5][2][4][5][5][3]([2][6])([5][2])([4]1)[5][5][3][5][5]xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx理想一个环的非空子集叫做理想子环理想ra既有单位元又是交换环生成理想主理想ra+na是交换环时,,ababarRraraAAAA,A