40分钟课时作业--双曲线的简单几何性质(一)-答案

40分钟课时作业双曲线的简单几何性质(一)一、选择题1.下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A.x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.x2－y22＝1D.x22－y2＝1答案A解析由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.2.双曲线x24－y212＝1的焦点到渐近线的距离为()A.23B.2C.3D.1答案A解析∵双曲线x24－y212＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F(4,0)到3x－y＝0的距离为432＝23.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则双曲线C的方程是()A.x24－y25＝1B.x24－y25＝1C.x22－y25＝1D.x22－y25＝1答案B解析依题意得，c＝3，e＝32，所以a＝2，从而a2＝4，b2＝c2－a2＝5，故选B.4.已知双曲线x2－y2m＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A.4B.14C.－14D.－4答案A解析∵双曲线x2－y2m＝1的虚轴长和实轴长分别为2m和2，∴2m＝4，∴m＝4.5.双曲线的渐近线方程是y＝±34x，则双曲线的离心率是()A.54B.2C.54或53D.52或153答案C解析e＝1＋ba2，∵ba＝34或43，∴e＝54或53.6.若实数k满足0k5，则曲线x216－y25－k＝1与曲线x216－k－y25＝1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D解析因为0k5，所以两曲线都表示双曲线.在x216－y25－k＝1中，a2＝16，b2＝5－k.在x216－k－y25＝1中，a2＝16－k，b2＝5.由c2＝a2＋b2知，两双曲线的焦距相等，故选D.7.设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.3答案B解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a.又r1＋r2＝3b，故r1＝3b＋2a2，r2＝3b－2a2.又r1·r2＝94ab，所以3b＋2a2·3b－2a2＝94ab，解得ba＝43(负值舍去).故e＝ca＝a2＋b2a2＝ba2＋1＝432＋1＝53，故选B.二、填空题8.与双曲线x2－y24＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________________.答案x23－y212＝1解析设所求双曲线方程为x2－y24＝λ，将点(2,2)代入，可得λ＝3，∴双曲线方程为x23－y212＝1.9.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线方程为y＝±33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_______.答案x24－y243＝1解析∵顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，∴33a1＋13＝1，解得a＝2.∵ba＝33，∴b＝233.∴双曲线方程为x24－y243＝1.10.已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________.答案3＋1解析因为MF1的中点P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a.又△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以PF1＝c.由余弦定理得PF2＝3c，所以3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.11.已知双曲线x29－y2m＝1的一个焦点在圆x2＋y2－2x－8＝0上，则双曲线的渐近线方程为_____答案y＝±73x解析由已知得一个焦点坐标为(4,0)，故双曲线方程为x29－y27＝1，∴双曲线的渐近线方程为y＝±73x.三、解答题12.已知双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.解椭圆方程为x264＋y216＝1，可知椭圆的焦距为83.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，∴a2＋b2＝48，ba＝33，解得a2＝36，b2＝12.∴双曲线的标准方程为x236－y212＝1.②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，∴a2＋b2＝48，ab＝33，解得a2＝12，b2＝36.∴双曲线的标准方程为y212－x236＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为x236－y212＝1或y212－x236＝1.13.双曲线x2a2－y2b2＝1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1，0)到直线l的距离之和s≥45c.求双曲线的离心率e的取值范围.解直线l的方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0，可得点(1,0)到直线l的距离d1＝ba－1a2＋b2，同理得到点(－1，0)到直线l的距离d2＝ba＋1a2＋b2.所以s＝d1＋d2＝2aba2＋b2＝2abc.由s≥45c，得2abc≥45c，即5ac2－a2≥2c2，于是得5e2－1≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，解不等式得54≤e2≤5.由于e1，所以e的取值范围是[52，5].