一次函数易错点剖析

1《初中数学教学中“错误资源”开发和利用的实践研究》一次函数易错点剖析学案2015.5.26初二9班王劭敏【学习目标】：了解一次函数的几个易错点，能够把错误的原因找到，并能正确地解答；【重点难点】：1.分析一次函数的几个易错点，培养学生用函数的观点认识数学问题，用变化和对立的眼光分析问题，加强各种知识间的联系。2.能够认识到自身的错误，并能正确地纠错。【导学指导】一．引入：判断下列各题的解答是否正确，如果错误，请指出错误的地方：1.下列函数哪些是一次函数？①y=－x+b,②y=x1+1,③y=k2x+3,④y=8x2+x(1－8x),⑤c=2r。解：一次函数有①②③2.一辆汽车由内江匀速驶往成都，下列图象中能大致反映汽车距离成都的路程（km）和行驶时间（h）的关系的是（D）.ABCD3.已知y与x-1成正比例，且当x=-5时，y=2，求y与x的函数关系式．解：设y=kx，把x=-5，y=2，代入得2＝－5k，解得52k，于是y与x的函数关系式是y=x52二．新课讲解1.对概念模糊不清而判断出错。例1：下列函数哪些是一次函数？①y=－x+b,②y=x1+1,③y=k2x+3,④y=8x2+x(1－8x),⑤c=2r。错解：一次函数有①②③。错因分析：误认为形如y=kx+b的关系式就是一次函数，未认识到一次函数成立的条件。判断一个函数是不是一次函数，应抓住一次函数的概念，就看它能否化为y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的形式。②中x1为分式，x的指数为不为1，应排除。③中k2未告诉是常数可能为变量，也应排除。④可化为y=x，二次项消除了，⑤中是常数，④和⑤都是正比例函数，是特殊的一次函数。正确答案：一次函数有①④⑤。2练习：在下列函数关系中：①y=kx+1，②y=32x，③y=xxx12，④y=x2+1，⑤y=x22一定是一次函数的个数有()A．3个B．2个C．4个D．5个2.忽视自变量的实际意义例2一辆汽车由内江匀速驶往成都，下列图象中能大致反映汽车距离成都的路程（km）和行驶时间（h）的关系的是（）.ABCD错解：选D.错解分析：图象D表示汽车离开内江的距离随着时间的增加而不断增加，而题意是反映汽车距离成都的路程与行驶时间的关系，即随着时间的增加路程越来越小，能够正确反映这一变化的应该是B.正解：选B.练习：⑴2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）⑵小明所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家．如图中，哪一个图象能大致描述他回家过程中离家．．的距离．．．s(千米)与所用时间t（分）之间的关系（）三、求解析式时没有弄清题意间的数量关系。例3已知y与x-1成正比例，且当x=-5时，y=2，求y与x的函数关系式．3错解：设y=kx，把x=-5，y=2，代入得2＝－5k，解得52k，于是y与x的函数关系式是y=x52．错解分析：错解中把y与x-1成正比例误认为y与x成正比例．正解：设y=k（x-1），把x=-5，y=2，代入得2＝k（－5－1），所以31k，所以y与x的函数关系式是3131xy．练习：已知1y与x成正比，且当x=1时，y=3，求y与x的函数关系式4．忽视实际情形中的限制出现错误例4已知等腰三角形的周长是16cm，底边长是ycm，腰长是cm，求y与的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围.错解：y与x的函数关系式是162yx，自变量x的取值范围是08x.错解分析：造成错解的原因是只考虑到x不能取零或负数，没有考虑到三角形的三边关系.因为三角形的两边之和大于第三边，所以xxy，从而2162xx，于是4x.正确的答案是：y与x的函数关系式是162yx，自变量x的取值范围是48x.练习：⑴油箱中有油30kg，油从管道中匀速流出，1小时流完，求油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（分钟）间的函数关系式为__________________，自变量的范围是_____________．当Q=10kg时，t=_______________．⑵若等腰三角形的周长是80cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系式的图象是()⑶某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后还剩余现金y元，试写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围5．忽视点的坐标与线段长之间的区别出现错误例5已知一次函数ykxb的图象经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形面积为6，求这个一次函数的关系式.4错解：对于一次函数ykxb，当0x时，yb，即一次函数ykxb与y轴的交点是(0,)b，由1362Sb得4b，将3,0xy代入4ykx，得43k，所以这个一次函数的关系式是443yx.解题关键：先求直线与x轴y轴的交点坐标，再求利用三角形的面积公式求解。错解分析：此题涉及三角形的面积的计算，在表示三角形的面积时，用的是线段的长度，不是点的坐标，所以在计算时，应加绝对值，即1362Sb，此时4b，所以所求一次函数的关系式有两个，即443yx或443yx练习：1、函数y=-5x+2与x轴的交点是，与y轴的交点是,与两坐标轴围成的三角形面积是。2．已知直线y=x+6与x轴、y轴围成一个三角形，则这个三角形面积为___。3．若直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是．6．选择方案时应该要注意图像或图表的信息例6学校讲义的复印任务，原来由甲复印社承接，按每页100页40元计费，现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承印费，则可按每100页15元收费，两复印社每月收费情况如图所示，根据图象回答下列问题：（1）乙复印社的每月承印费是多少？（2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？（3）如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？练习：某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知(如图)，当x________时，选用个体车较合算三．小结：1．掌握一次函数常见的几种题型，并能正确解答；2．在解决一次函数问题中要特别注意的几个问题：⑴自变量取值范围；⑵自变量的实际意义；⑶选择方案时应注意图像或图表的信息5四．课后作业：1．函数y＝1x中自变量的取值范围是＿＿＿．2．如图，直线y＝－43x+4与y轴交于点A，与直线y＝45x+45交于点B，且直线y＝45x+45与x轴交于点C，则△ABC的面积为＿＿＿．3.已知直线y=（k-2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是（）A．k≠2B．k＞2C．0＜k＜2D．0≤k＜24．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）5．如图，已知直线l1经过点A（－1，0）与点B（2，3），另一条直线l2经过点B，且与x轴交于点P（m，0）．（1）求直线l1的解析式；（2）若△APB的面积为3，求m的值．6．为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？CBAxOy67．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若以购买茶杯数为x只，付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法中哪种更省钱？8．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？