大学概率与统计课件

1随机事件及其概率概率论与数理统计第一章2序言概率论是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学3第一章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象4在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.(2)随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.5结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.6实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品、次品.实例5过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.7实例6出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.8随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明9一、随机试验在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。10说明随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.11实例“抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.分析(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果:正面、反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.12(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站某时刻的等车人数.13样本空间与随机事件随机事件（简称事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生,而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件）。通常用大写字母A、B,…表示。基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，每个基本结果称样本点。14随机事件中有两个极端情况：•每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件。•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件。基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。不可能事件不含任何样本点，它就是空集。样本空间：随机试验的全体基本事件组成的集合称为样本空间。记为。151．事件的包含事件发生A事件发生B设、为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称包含于，记为，或包含，记为.BABBBAAAABABABBA事件之间的关系和运算实例A=“长度不合格”必然导致B=“产品不合格”所以BA事件之间的关系（事件A发生必然导致事件B发生）16172.事件的相等BAABBA且BABA=若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等。记为.BAAB和同时发生或者同时不发生AB即A与B中的样本点完全相同3.事件的和（并）ABBAAB将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成并或加.有时也可记为.ABBBBAABABAA实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并，BAC即A和B两个事件至少有一个发生A∪B194.事件的积（交）BABA将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘.有时也可记为.ABBBBAABABAA发生同时发生和BABA实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”．ABBAC则20;,,,211的和事件个事件为称推广nknkAAAnA.,,211的和事件为可列个事件称AAAkk;,,,211的积事件个事件为称nnkkAAAnA.,,211的积事件为可列个事件称AAAkk21和事件与积事件的运算性质AAAAAA,AA,A,,A,AA.225.事件的差从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件,记为.ABABBABAAB事件发生而事件不发生AB实例设Ｃ＝“长度合格但直径不合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”.BAC则23事件、不可能同时发生AB6.事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为.AABBABBA或ABABBA或注意基本事件是两两互斥的.247.事件的逆（对立事件）A称必然事件和事件的差为的逆事件，记为，AAAAABAB的逆事件，则是若AAAAA显然，互逆时BAAB,,如果和互逆，则也可称和互为对立事件ABAB事件不发生A实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”对立AAA若事件A1,A2,……An为两两互不相容的事件，并且A1+A2+,……+An=Ω，称A1,A2,……An构成一个完备事件组。完备事件组082526事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律.设CBA,,为同一随机试验E中的事件，则有(1)交换律,ABBA;ABBA(2)结合律),()(CBACBA);()(CBACBA(3)分配律),()()(CBCACBA27(4)自反律;AA(5)对偶律.)(BABA注：上述各运算律可推广到件的情形.,BAB)(A有限个或可数个事nnAAAAAA2121nnAAAAAA212128(6)吸收律BBAAABBA,,则若(7)替换律)()(ABBBAAAB)()(BABABABABABBAABABACBACBACBA)(29例1.1设A,B,C为3个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：（1）A发生而B与C都不发生：（2）A，B都发生而C不发生：（3）A，B，C至少有一个事件发生：（4）A，B，C至少有两个事件发生：（5）A，B，C恰好有两个事件发生：（6）A，B，C恰好有一个事件发生：（7）A，B至少有一个发生而C不发生：（8）A，B，C().ABCABCABC或或.ABCABC或.ABC()()().ABACBC()()().ABCACBBCA()()().ABCBACCAB().ABC.ABCABC或•例1.2从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。30•解：•三次中全取到合格品：A1A2A3;•三次中至少一次取到合格品:A1+A2+A3;•三次中恰有两次取到合格品:•三次中至多有一次取到合格品。321321321AAAAAAAAA313221AAAAAA3132练习甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲中靶”,AB“乙中靶”,“丙中靶”,C则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”;A;AB“甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶”;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶”ABC或;ABC33(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶”;ABACBC“三人中均未中靶”;ABC“三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶”ABC或.ABC；CBACBACBACBA(6)(7)“三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶”ABC或;ABC;ABCABCABC34注:用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)实际上是同一事件,大家应学会特别在解决具体问题时,往往要更具需要方法.用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶”35一、概率的统计意义三、概率的几何定义二、概率的古典定义1.2随机事件的概率五、概率的性质四、概率的公理化定义36研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！37一、概率的统计意义定义;1)(0AfnnArn)(0显然次数为，)(Arn频率.若在相同条件下进行次试验，n其中发生的A则称nArAfnn)()(为事件发生的A试验序号5n)(Arn)(Afn1234567231512450n22252125241827500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.处波动较大在21随n的增大,频率fn(A)呈现出稳定性处波动较小在21处波动最小在21)(Arn)(Arn)(Afn)(Afn38从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随n的增大,频率fn(A)呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率fn(A)总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的fn(A)不一定相同;39实验者德摩根蒲丰n)(Arn皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Afn.21的增大n)(Afn40重要结论当实验次数n较小时,事件Ａ发生的频率波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件Ａ在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率．41概率的统计定义定义在相同条件下进行n次重复试验,若事件A发生的频率nArAfnn)()(随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，记为P(A).422、概率的古典定义定义1.4：设随机试验E满足如下条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即(2)每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为古典概型，也称为等可能概型。古典概型中事件A的概率计算公式为43例1一个袋子中装有10个大小相同的球,其中3个黑球,7个白球,求:(1)从袋子中任取两球,刚好一个白球一个黑球的概率解以及两个球全是黑球的概率.(1)10个球中任取两球的取法有210C种,其中刚好一个白球,一个黑球的取法有1713CC种取法,两个球均是黑球的取法有23C种,记B为好取到一个白球一个黑球”,C为为黑球”,则事件“刚事件“两个球均)(BP)(CP2101713CCC,15721023CC.15144例212名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率.解12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”45（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班