线段的垂直平分线与角平分线

nn初中数学竞贤老师专属讲义第1页共8页线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵CD⊥AB，且AD＝BD∴AC＝BC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，∵AC＝BC∴点C在线段AB的垂直平分线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，也成立。4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，∴CF＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA图4CDOABFEnn初中数学竞贤老师专属讲义第2页共8页定理的数学表示：如图5，∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：①AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.图5CDOABP图6EFDIPRQBCAnn初中数学竞贤老师专属讲义第3页共8页【典型例题】例1、如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm【跟踪练习】（1）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=_________;（2）如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是______;（3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC=___.例2、已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线.Cnn初中数学竞贤老师专属讲义第4页共8页图8BCDAAPBFEC例3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B的大小为_______________。【跟踪练习】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为________________。例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.例5、已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：PE=PF【跟踪练习】已知：PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。nn初中数学竞贤老师专属讲义第5页共8页例6、如图10，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为BC中点，连接AE、DE，DE平分∠ADC，求证：AE平分∠BAD.【跟踪练习】如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF。例7、如图11，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.nn初中数学竞贤老师专属讲义第6页共8页图7EDACB【课堂练习】1.如图，AC=AD，BC=BD，则（）A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm4.如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。5.已知，如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.6.如图7，在△ABC中，AC＝23，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACE的周长为50，求BC边的长.nn初中数学竞贤老师专属讲义第7页共8页7.已知：如图所示，∠ACB，∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP.8.如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB．(1)如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；(2)如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．9.如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．10.如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．CABDPnn初中数学竞贤老师专属讲义第8页共8页【课后作业】1.下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.A.1个B.2个C.3个D.4个2.△ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。3.如图所示，直线lll123，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.5.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.6.如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．