2018届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷(三)数学(理)试题(解析版)

第1页共18页2018届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分别计算集合A,B中x的取值范围，然后取交集即可。【详解】∵，∴或，∵，∴，∴，故选.【点睛】本题考查集合的基本运算，需要先分别将两个集合中x的关系式化简，再取公共部分即可得到两集合的交集。2．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.3．抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得抛物线的标准方程为∴焦点坐标为故选C4．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值是（）第2页共18页A．1B．C．2D．【答案】B【解析】首先在平面直角坐标系中作出不等式组表示的可行域，表示O到可行域内某点的距离，过点O向直线作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值。【详解】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O向直线作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值，所以.故选B.【点睛】本题考查线性规划，属于距离模型，利用点到直线的距离公式求解。5．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．14B．-14C．7D．-7【答案】A【解析】根据展开式中二项式系数之和为128可求n,写出二项式展开式的通项，赋值令x的指数为解出此时的r，代入通项即可求项的系数。【详解】∵，∴，∴展开式的通项，令，解得，∴的系教为，故选.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式展开式二项式系数和，展开式的通项公式，求特定项的系数，属于基础题。6．函数的大致的图象是（）第3页共18页A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：利用排除法，根据当时，的取值，即可得结果.详解：利用排除法，由当时，可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等..7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为1，则该“阳马”最长的棱长为（）A．5B．C．D．【答案】D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：第4页共18页其中PA⊥平面ABCD，∴PA=3，AB=CD=4，AD=BC=5，∴PB=，PC=，PD=．该几何体最长棱的棱长为．故选：D8．若函数在上单调递增，则的取值不可能为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵∴令，即∵在上单调递增∴且∴故选D.9．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成的集合为，从集合中任取一个元素，则函数，是增函数的概率为（）第5页共18页A．B．C．D．【答案】A【解析】首先根据程序框图计算出所有输出的y值，确定集合A,再根据幂函数的性质，选出所有符合条件的的值，用符合条件的事件个数除以基本事件的总数，即可求解。【详解】由程序框图可知，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数，是增函数”为事件，当函数，是增函数时，，事件包含基本事件的个数为3，则.故选.【点睛】本题考查程序框图的运行和概率的计算，是基础题。10．已知，是函数的图象上的相异两点，若点，到直线的距离相等，则点，的横坐标之和的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以可设，则在上，可得，，，，即的横坐标之和的取值范围是，故选B.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、第6页共18页不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值；三相等是，最后一定要验证等号能否成立.11．在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为：．【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.12．已知是函数的极值点，数列满足，，记，若表示不超过的最大整数，则（）A．2017B．2018C．2019D．2020【答案】A【解析】由题意可得，第7页共18页∵是函数的极值点，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．选A．点睛：（1）已知数列的递推公式求通项时，要掌握由递推公式求通项公式的基本方法，即先对递推公式进行变形，然后利用转化与化归的思想解决递推数列问题．（2）数列求和时要根据通项公式的特点选择相应的求和方法，如通项为分式的形式时一般用裂项相消法求和等．二、填空题13．已知为虚数单位，则________.【答案】【解析】.故答案为：14．设为等差数列的前项和，若，，则________.【答案】-6.【解析】根据等差数列的定义和性质，，可以计算，进而可得.【详解】根据等差数列的定义和性质可得，，又，所以，又，所以，.第8页共18页【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，前n项和的性质，比较基础。15．已知直线过定点，线段是圆的直径，则________.【答案】7.【解析】根据直线方程，化为的形式，建立关于x,y的二元一次方程组即可求解直线所过定点;圆的方程化简为代入计算即可。【详解】直线可化为，联立，解得点，∵线段是圆的直径，∴【点睛】本题考查平面解析几何部分直线与圆的相关内容，考查含参直线的恒过定点问题以及向量数量积的运算，考查转化思想及计算能力。16．设为双曲线（，）的右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，且，则双曲线的离心率为________.【答案】2或【解析】若，则由图1可知，渐近线的斜率为，，在中，由角平分线定理可得，所以，，所以，.若，则由图2可知，渐近线为边AF的垂直平分线，故△AOF为等腰三角形，故，，，即该双曲线的离心率为2或.三、解答题第9页共18页17．已知中，，，边上一点满足，.(I)证明：为的内角平分线；(Ⅱ)若，求.【答案】(Ⅰ)见解析.（Ⅱ）.【解析】(I)通过化简计算整理之后结果为0，三角形内角范围为余弦值相等可得，即证为的内角平分线；(Ⅱ)分别在和中应用正弦定理可得，再在这两个三角形中分别应用余弦定理可求，即可计算.【详解】（I）因为所以，又因为，，所以，所以为的内角平分线.（方法二：提示：根据向量加法的平行四边形法则，结合菱形对角线平分内角可以证得）（Ⅱ）中，，中，，∵，，，∴，中，，中，，∴，.【点睛】本题考查三角函数、正余弦定理以及向量数量积的有关内容，比较综合。18．如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点.将沿折到的位置，.第10页共18页（I）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析.(Ⅱ).【解析】（I）首先根据线段成比例可得，菱形对角线互相垂直，故可得，分别计算线段OH、HD，在中运用勾股定理可证，进而可证平面，平面平面；（Ⅱ）以H为坐标原点建立平面直角坐标系，求出的坐标以及面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可。【详解】（Ⅰ）∵，∴，∴.∵四边形为菱形，∴，∴，∴，∴.∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）建立如图坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，由得，取，∴.设直线与平面所成角为，∴，第11页共18页∴.【点睛】本题考查了面面垂直的证明，线面角的向量求法，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，是中档题。19．某校高二理科8班共有50名学生参加学业水平模拟考试，成绩（单位：分，满分100分）大于或等于90分的为优秀，其中语文成绩近似服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如图.（I）这50名学生中本次考试语文、数学成绩优秀的大约各有多少人？（Ⅱ）如果语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，从语文优秀或数学优秀的这些同学中随机抽取3人，设3人中两科都优秀的有人，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据（I）（Ⅱ）的数据，是否有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀？附：①若~，则，；第12页共18页②；③【答案】(Ⅰ)语文成绩优秀的同学有8人，数学成绩优秀的同学有10人.(Ⅱ)见解析.(Ⅲ)没有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.【解析】（I）语文成绩服从正态分布，根据正态分布的原则可得语文成绩优秀的概率及人数；根据数学成绩的频率分布直方图可以计算数学成绩优秀的概率及人数；（Ⅱ）语文和数学两科成绩都优秀的共有4人，则语文单科优秀的4人，数学单科优秀的6人，即单科优秀的共10人，随机抽取3人，3人中两科都优秀的可能为0、1、2、3四种情况，服从超几何分布，利用概率公式分别求出每种情况的概率，即可写出X的分布列及数学期望；（Ⅲ）先填写列联表，利用公式求出的值比较它与6.635的大小即可。【详解】（Ⅰ）∵语文成绩服从正态分布，∴语文成绩优秀的概率为，数学成绩优秀的概率为，∴语文成绩优秀的同学有人，数学成绩优秀的同学有人.（Ⅱ）语文数学两科都优秀的有4人，单科优秀的有10人，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，∴的分布列为：.（Ⅲ）列联表：第13页共18页∴.∴没有99%以上的把握认为语文成绩优秀的同学，数学成绩也优秀.【点睛】本题综合考查二项分布和频率分布直方图的应用，离散型随机变量及其分布列、期望，以及独立性检验的内容，比较综合，考查学生的逻辑思维能力及运算能力，属于中档题。20．已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点.（Ⅰ）证明：点在定直线上；（Ⅱ）当最大时，求的面积.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解析】（I）求出椭圆的右焦点F的坐标，设AB所在直线为：（k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理，求出中点坐标，求出ON的方程，与FM所在的直线方程联立，解得点M坐标即可求出M在定直线上；（Ⅱ）由（I）可设点M的坐标为，且F（1，0），求出向量坐标，利用向量的数量积求出cos∠OMF取得最小值时，∠OMF最大，由此可得M的坐标及直线AB的方程，利用弦长公式和点到线的距离公式求解三角形的面积的