2017年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

第1页（共22页）2017年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣6=0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{2，3}2．复数3i（1+i）的实部和虚部分别为（）A．3，3B．﹣3，3C．3，3iD．﹣3，3i3．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A．B．πC．2D．4．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）A．B．C．D．5．已知函数，则（）A．∃x0∈R，使得f（x）＜0B．∀x∈（0，+∞），f（x）≥0C．∃x1，x2∈[0，+∞），使得D．∀x1∈[0，+∞），∃x2∈[0，+∞）使得f（x1）＞f（x2）6．如图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．12π7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，第2页（共22页）其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A．升B．升C．升D．升8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）A．x≤NB．x＜NC．x＞ND．x≥N9．若1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，则x﹣2y的最大值与最小值之和是（）A．0B．﹣2C．2D．610．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，C=，AB=3，则△ABC的周长为（）第3页（共22页）A．B．C．D．12．A、F分别是双曲线的左顶点和右焦点，A、F在双曲线的一条渐近线上的射影分别为B、Q，O为坐标原点，△ABO与△FQO的面积之比为，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{an}的公比为﹣，则ln（a2017）2﹣ln（a2016）2=．14．空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为．（该年为365天）15．化简：=．16．矩形ABCD中，AB=3，AD=2，P矩形内部一点，且AP=1，若=x+y，则3x+2y的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．第4页（共22页）（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，设{bn}的前n项和为Sn．求最小的正整数n，使得．18．某研究型学习小组调查研究”中学生使用智能手机对学习的影响”．部分统计数据如表：使用智能手机人数不使用智能手机人数合计学习成绩优秀人数4812学习成绩不优秀人数16218合计201030参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中n=a+b+c+d（Ⅰ）试根据以上数据，运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响？（Ⅱ）研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为A组，不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为B组，计划从A组推选的2人和B组推选的3人中，随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验．求挑选的两人恰好分别来自A、B两组的概率．19．如图，以A、B、C、D、E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为等边三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥平面ABC，EC=，AB=2．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求此六面体的体积．第5页（共22页）20．已知A（0，2）的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．（Ⅰ）求C点轨迹E的方程；（Ⅱ）当AC不在轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．21．已知函数，a为实常数．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x），当a＞0时，求函数F（x）的单调区间；（2）当a=﹣e时，直线x=m、x=n（m＞0，n＞0）与函数f（x）、g（x）的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：（m﹣1）（n﹣1）＜0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0（m为常数）．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．第6页（共22页）2017年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣6=0}，则A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次方程化简B，再由交集运算得答案．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={x|x2﹣x﹣6=0}={﹣2，3}，∴A∩B={1，2，3}∩{﹣2，3}={3}．故选：C．2．复数3i（1+i）的实部和虚部分别为（）A．3，3B．﹣3，3C．3，3iD．﹣3，3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵3i（1+i）=﹣3+3i，∴复数3i（1+i）的实部和虚部分别为﹣3，3．故选：B．3．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A．B．πC．2D．【考点】余弦函数的图象．【分析】y=cos（x+1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，即可求出y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离．【解答】解：y=cos（x+1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，第7页（共22页）∴y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是=，故选：A．4．椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】用正方形的正方形边长为2，得|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b即可【解答】解：设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长=2，∴|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b=，则椭圆E的标准方程为：．故选：C．5．已知函数，则（）A．∃x0∈R，使得f（x）＜0B．∀x∈（0，+∞），f（x）≥0C．∃x1，x2∈[0，+∞），使得D．∀x1∈[0，+∞），∃x2∈[0，+∞）使得f（x1）＞f（x2）【考点】幂函数的性质．【分析】函数的值域为[0，+∞），是增函数，由此能求出结果．【解答】解：由函数，知：在A中，f（x）≥0恒成立，故A错误；在B中，∀x∈（0，+∞），f（x）≥0，故B正确；第8页（共22页）在C中，∃x1，x2∈[0，+∞），使得＞0，故C错误；在D中，当x1=0时，不存在x2∈[0，+∞）使得f（x1）＞f（x2），故D不成立．故选：B．6．如图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为2的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个直径为2的半球．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个直径为2的半球．∴该几何体的表面积==3π．故选：A．7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（）A．升B．升C．升D．升【考点】等差数列的性质．【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案．【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意得，，第9页（共22页）即，得，所以a2+a3+a8=（升），故选：A．8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（）A．x≤NB．x＜NC．x＞ND．x≥N【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解．【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，故x≤N时，执行循环体，当x＞N时，退出循环．故选：C．9．若1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，则x﹣2y的最大值与最小值之和是（）第10页（共22页）A．0B．﹣2C．2D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件1≤log2（x﹣y+1）≤2，|x﹣3|≤1，作出可行域如图，1≤log2（x﹣y+1）≤2，可得1≤x﹣y≤3由，解得B（2，﹣1）．由，解得A（4，3），化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过B（2，﹣1）与A（4，3）时，目标函数取得最值，z有最小值为：4﹣2×3=﹣2，最大值为：2+2×1=4，最大值与最小值之和为：2．故选：C．10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（）A．B．C．D．第11页（共22页）【考点】函数的图象．【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断．【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x），所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2，所以f′（x）=﹣2x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，故排除C，方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，故选：A11．在△ABC中，C=，AB=3，则△ABC的周长为（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】设△ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（﹣A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2sin（A+）+3，即可得解．【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R，则2R==2，所以：BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（﹣A），所以：△ABC的周长=2（sinA+sin（﹣A））+3=2sin（A+）