椭圆题型归纳大全

第1页椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100Cxy相内切，且过点(4,0)A，求这个动圆圆心M的轨迹方程；例2.方程223(1)(1)22xyxy所表示的曲线是练习：1.方程2222(3)(3)6xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程2222(3)(3)10xyxy对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程2222(3)(3)10xyxy成立的充要条件是（）A.2212516xyB.221259xyC.2211625xyD.221925xy4.如果方程2222()()1xymxymm表示椭圆，则m的取值范围是5.过椭圆22941xy的一个焦点1F的直线与椭圆相交于,AB两点，则,AB两点与椭圆的另一个焦点2F构成的2ABF的周长等于；6.设圆22(1)25xy的圆心为C，(1,0)A是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625xy的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P，求椭圆的方程；第2页（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P、2(3,2)P，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)且与椭圆229436xy有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221xyab共焦点的椭圆可设其方程为222221()xykbakbk；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC中，,,ABC所对的三边分别为,,abc，且(1,0),(1,0)BC，求满足bac且,,bac成等差数列时顶点A的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x轴上一定点(1,0)A，Q为椭圆2214xy上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于,AB两点，点P是直线l上满足1PAPB的点，求点P的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为(0,50)F的椭圆被直线32yx截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆2211625xy上一点P的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F、1F，求1PF、2PF及12cosFPF；第3页题型四.椭圆的几何性质例1.已知P是椭圆22221xyab上的点，的纵坐标为53，1F、2F分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则12PFPF的最大值与最小值之差为例2.椭圆22221xyab(0)ab的四个顶点为,,,ABCD，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆22114xyk的离心率为12，则k；例4.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且01215PFF，02175PFF，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)xymm表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程222(1)(1)2xyxy所表示的曲线是例2.求经过点(1,2)M，以y轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆221259xy上有一点P，它到左准线的距离等于52，那么P到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422yx，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点12,FF距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。第4页例5．已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点．求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．题型七.求离心率例1.椭圆22221xyab(0)ab的左焦点为1(,0)Fc，(,0)Aa，(0,)Bb是两个顶点，如果1F到直线AB的距离为7b，则椭圆的离心率e例2.若P为椭圆22221(0)xyabab上一点，1F、2F为其两个焦点，且12PFF，212PFF，则椭圆的离心率为例3.1F、2F为椭圆的两个焦点，过2F的直线交椭圆于,PQ两点，1PFPQ，且1PFPQ，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例1.椭圆22143xy上的点P到直线270xy的距离最大时，点P的坐标例2.方程22sincos1xy(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线:lyxm与椭圆22916144xy相切、相交、相离？第5页yxOABP例2.曲线22222xya（0a）与连结(1,1)A，(2,3)B的线段没有公共点，求a的取值范围。例3.过点)0,3(P作直线l与椭圆223412xy相交于,AB两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设l的方程为)3(0xky，则要求l的斜率一定要存在，但在这里l的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线l的方程为3myx，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设1122(,),(,)AxyBxy，l：3myx)(3|)||(|3||||21||||21212121yyyyyOPyOPSAOB把3myx代入椭圆方程得：0124)332(3222ymyym，即0336)43(22myym，4336221mmyy，433221myy481444314312)43(108||22222221xmmmmyy3)13(133443133443394222222mmmmmm23234133133422mmm第6页∴3223S，此时1331322mm36m令直线的倾角为，则36tan26即OAB面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26。例4.求直线cossin2xy和椭圆2236xy有公共点时，的取值范围(0)。（二）弦长问题例1.已知椭圆22212xy，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A的坐标。分析：若直线ykxb与圆锥曲线(,)0fxy相交于两点11(,)Pxy、22(,)Qxy，则弦PQ的长度的计算公式为||11||1||212212yykxxkPQ，而21221214)(||xxxxxx，因此只要把直线ykxb的方程代入圆锥曲线(,)0fxy方程，消去y（或x），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设0(,0)Ax（00x），则直线l的方程为0yxx，设直线l与椭圆相交于11(,)Pxy、22(,)Qxy，由022212yxxxy，可得2200342120xxxx，34021xxx，31222021xxx，则20202021221212363234889164)(||xxxxxxxxx∴||13144212xxx，即202363223144x∴204x，又00x，∴02x，∴(2,0)A；第7页例2.椭圆221axby与直线1xy相交于,AB两点，C是AB的中点，若22||AB，O为坐标原点，OC的斜率为22，求,ab的值。例3.椭圆1204522yx的焦点分别是1F和2F，过中心O作直线与椭圆交于,AB两点，若2ABF的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164xy，过点(2,0)P能否作直线l与椭圆相交所成弦的中点恰好是P；例2.已知一直线与椭圆224936xy相交于,AB两点，弦AB的中点坐标为(1,1)M，求直线AB的方程；例3.椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率32e,过点(1,0)C的直线l与椭圆E相交于,AB两点，且C分有向线段AB的比为（1）用直线l的斜率(0)kk表示OAB的面积；（2）当OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．解：（1）设椭圆E的方程为12222byax，由23cea，∴a2=3b2第8页故椭圆方程22233xyb；设1122(,),(,)AxyBxy，由于点(1,0)C分有向线段AB的比为2．∴0321322121yyxx，即21212)1(21yyxx由)1(33222xkybyx消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于1122(,),(,)AxyBxy两点13331360)23)(13(4362222122212224kbkxxkkxxbkkkΔ而122222211333|||2||||(1)||||1|22222OABSyyyyykxkx⑥由①④得:222131xk，代入⑥得：23||(0)31OABkSkk.（2）因23||3331312233||||OABkSkkk,当且仅当,33kOABS取得最大值．此时121xx，又∵12213xx，∴121,2xx；将12,xx及213k代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程2235xy．例4.已知11022(,),(1,),(,)AxyByCxy是椭圆22143xy上的三点，F为椭圆的左焦点，且,,AFBFCF成等差数列，则AC的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。③④⑤第9页（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆22143xy，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线4yxm对称；例2.已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率322e，试问是否存在直线l，使l与椭圆交于不同两点,AB，且线段AB恰被直线21x平分？若存在，求出直线l倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十.最值问题例1．若(2,3)P，2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。分析：欲求2MPMF的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义212MFaMF,1F为椭圆的左焦点。解：212MPMFMPaMF，连接1PF，延长1PF交椭圆于点M1,延长1FP交椭圆于点2M由三角形三边关系知111PFMPMFPF当且仅当M与1M重合时取右等号、M与2M重合时取左等号。因为1210,2aPF，所以2max()12MPMF,2min()8MPMF；结论1：设椭圆12222byax的左右焦点分别为12,FF,00(,)Pxy为椭圆内一点，(,)Mxy为F2F1M1M2o第10页椭圆上任意一点，则2MPMF的最大值为12aPF,最小值为12aPF；例2．(2,6)P,2F为椭圆1162522yx的右焦点，点M在椭圆上移动，求2MPMF的最大值和最小值。分析：点P在椭圆外，2PF交椭圆于M，此点使2MPMF值最小，求最大值方法同例1。解：212MPMFMPaMF，连接1PF并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时1MPMF取最大值1PF；∴2MPMF最大值是10+37，最小值是41。结论2设椭圆1